중심극한정리 시뮬레이터

결과

1,000개 표본, 이 모집단에서 뽑은 30개 값의 평균 각각 — 총 30,000번 무작위 추출번 추출. 시드: 2024.

n = 30일 때 표본평균의 예측 왜도는 0.365입니다. 여전히 눈에 띄게 치우쳐 있어 정규 곡선은 대략적인 적합일 뿐입니다. n을 키우면 더 가까워집니다.

이것은 증명이 아니라 예시입니다. 표본 수가 유한하므로 막대들은 곡선 주위에서 몇 퍼센트씩 흔들리며, 다른 시드는 그것을 다시 옮깁니다.

중심극한정리 시뮬레이터 사용 방법

1. 1. 모집단을 고르세요. 오른쪽으로 치우친 모집단으로 시작한 뒤, 종 모양과는 전혀 다른 모양인 매우 치우친, 이봉, 예/아니오 모집단을 시도해 보세요.
2. 2. 표본 크기 n을 정하세요. 각 표본은 n개의 무작위 추출값을 평균 낸 하나의 수입니다. 빠른 버튼으로 n을 1, 5, 30, 100으로 바꿔 가며 히스토그램이 어떻게 변하는지 보세요.
3. 3. 표본 수를 정하세요. 각 표본은 히스토그램에 평균 하나를 더합니다. 표본이 많을수록 그림은 매끄러워지지만, 표본분포가 실제로 얼마나 정규에 가까운지는 바뀌지 않습니다. 그것을 바꾸는 것은 n뿐입니다.
4. 4. 애니메이션을 보거나 시드를 바꾸세요. 애니메이션은 버튼을 눌렀을 때만 표본을 몇 개씩 추가합니다. 같은 시드는 항상 같은 그림을 재현하며, “새 무작위 시드”는 다른 시드를 고릅니다.

중심극한정리의 내용

유한한 평균 μ와 유한한 표준편차 σ를 가진 어떤 모집단에서든 n개의 독립된 값을 뽑아 평균을 내 보세요. n이 커질수록 그 평균의 분포는 평균 μ, 표준편차 σ/√n인 정규분포에 가까워집니다. 이 σ/√n이 표준오차입니다. 모집단의 모양이 어떻든 그렇습니다. 모집단이 정규가 되는 것이 아니라, 표본평균의 분포가 정규가 됩니다.

얼마나 빨리 가까워지는지는 모집단에 따라 다릅니다. 대칭인 모집단은 빨리, 치우친 모집단은 천천히 도달합니다. 표본평균의 왜도는 모집단의 왜도를 √n으로 나눈 값이므로, 시뮬레이터의 표는 어떤 실행을 하기 전에도 그것을 예측할 수 있습니다:

왜도만이 전부는 아닙니다. 이봉 모집단은 왜도가 0이지만, 두 봉우리가 하나로 합쳐지려면 표본마다 여러 번 뽑아야 합니다. 흔한 규칙인 “n이 30 이상이면 충분하다”는 어느 정도 치우친 데이터에는 맞지만, 로그정규 모집단은 n = 100에서도 눈에 띄는 왜도가 남아 있습니다. 시뮬레이터는 예측 왜도가 0.25 미만으로 떨어지면 적합도가 가깝다고 표시합니다. 이것은 정리가 아니라 대략적인 기준입니다.

실제 예시: 치우친 모집단, n = 30

기본 설정(지수 모집단, μ = 1, σ = 1, n = 30, 1,000개 표본, 시드 2024)에서 정리는 표준오차 1/√30 = 0.1826, 왜도 0.3651을 예측합니다. 이 실행의 1,000개 표본평균은 평균 1.008, 표준편차 0.1835, 왜도 0.3448을 가지며, 그중 95.1%가 1을 중심으로 1.96 표준오차 안에 들어갑니다. 정규 곡선이 주는 95%와 비교한 결과입니다.

수치는 이론에 가깝지만 정확히 일치하지는 않으며, 그래야 정상입니다. 1,000개는 유한한 실행입니다. 이 실행은 총 30,000번의 무작위 추출을 했고, 다른 시드는 모든 막대를 조금씩 옮깁니다. 남아 있는 왜도도 실제입니다. n = 30에서도 지수 모집단의 평균은 아직 약간 오른쪽으로 치우쳐 있으며, 그래서 시뮬레이터는 여기서 정규 곡선을 대략적인 적합으로 부릅니다.

자주 묻는 질문

중심극한정리를 쉬운 말로 하면 무엇인가요?

독립적인 많은 관측값의 평균은, 개별 관측값이 정규분포가 아니더라도 대략 정규분포를 따릅니다. 평균 μ, 표준편차 σ인 모집단에서 뽑은 n개 값의 평균은 평균 μ, 표준편차 σ/√n을 가지며, n이 커질수록 그 분포는 종 모양 곡선에 가까워집니다.

표본 크기는 얼마나 커야 하나요?

정해진 숫자는 없습니다. 대칭에 가까운 모집단은 n이 10~15 정도면 되고, 중간 정도로 치우친 모집단은 보통 n = 30 규칙을, 매우 치우친 모집단(여기의 로그정규 등)은 n = 100 이상이 필요할 수 있습니다. 당신의 모집단과 비슷한 것으로 시뮬레이터를 돌려 히스토그램을 살펴보세요.

정리는 모집단을 정규로 만드나요?

아닙니다. 모집단은 원래 모양을 유지합니다. 정규에 가까워지는 것은 표본평균의 분포이며, 그래서 n이 작지 않다면 중간 정도로 정규가 아닌 데이터에서도 평균에 대한 t 검정과 신뢰구간이 합리적으로 작동합니다.

시뮬레이션의 표준편차가 정확히 σ/√n이 아닌 이유는 무엇인가요?

실행은 표본평균들의 유한한 표본이기 때문입니다. 1,000개 표본이면 시뮬레이션된 표준편차는 보통 이론적 표준오차에서 몇 퍼센트 이내에 듭니다. 표본 수를 늘리면 더 가까워집니다. 시드가 다르면 값도 조금씩 달라집니다.

중심극한정리는 항상 성립하나요?

모집단의 분산이 유한하지 않을 때는 아닙니다. 예를 들어 코시 분포는 표본평균이 단일 관측값만큼 변동이 큽니다. 또한 독립 추출을 가정합니다. 같은 사람에게서 반복 측정한 값처럼 상관된 데이터는 더 느리게 수렴하거나 전혀 수렴하지 않을 수 있습니다.

시드는 무엇을 하며, 무작위성은 실제인가요?

추출은 시드로부터 생성된 의사 난수이므로, 같은 시드, 모집단, n, 표본 수는 항상 동일한 그림을 만듭니다. 예시를 공유할 때 유용합니다. “새 무작위 시드”는 브라우저의 보안 난수 생성기로 시드를 고릅니다. 모든 것은 브라우저에서 실행되며 아무것도 업로드되지 않습니다.