신뢰구간 계산기
평균(t 또는 z), 비율(Wald, Wilson 점수 방식, Clopper–Pearson 정확 방식), 또는 두 평균의 차이(Welch) 신뢰구간을 원하는 신뢰수준으로 구하세요. 허용 오차, 계산 과정, 정확한 한 문장 해석이 함께 나옵니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.
결과
60.8373 – 68.7627
95% 신뢰구간
64.8
표본 평균 (x̄)
± 3.9627
허용 오차
1.92
표준오차
2.0639
자유도 24의 t*
계산 방법
SE = s / √n = 9.6 / √25 = 1.92
x̄ ± t* × SE = 64.8 ± 2.0639 × 1.92 = 64.8 ± 3.9627
모집단 평균은 60.8373에서 68.7627 사이에 있다고 95% 확신합니다. 95%는 이 특정 구간이 아니라 방법에 대한 것입니다. 표본을 여러 번 뽑아 각각으로 구간을 만들면, 그 구간들의 약 95%가 참 평균을 포함할 것입니다. 이 구간은 참 평균을 포함하거나 포함하지 않습니다.
APA 형식
95% CI [60.84, 68.76]
신뢰구간 계산기 사용 방법
- 1. 무엇을 추정할지 고르세요. 하나의 평균, 하나의 비율, 또는 독립된 두 집단의 평균 차이입니다.
- 2. 숫자를 입력하세요. 평균이라면 평균, 표준편차, 표본 크기를 입력하거나 원자료를 붙여넣으세요. 비율이라면 성공 횟수와 표본 크기를 입력하세요. 두 평균이라면 각 집단의 요약 통계를 입력하세요.
- 3. 신뢰수준을 정하세요. 관례는 95%지만, 0에서 100 사이의 어떤 수준이든 됩니다. 90, 99, 97.5도 가능합니다.
- 4. 구간을 읽으세요. 구간의 양 끝, 허용 오차, 표준오차, 임계값, 계산 과정, 평이한 해석, 그리고 복사할 수 있는 APA 형식의 구간이 나옵니다.
공식
여기서 모든 구간은 같은 꼴을 가집니다. 추정값 ± (임계값 × 표준오차)입니다. 구간마다 다른 것은 표준오차와, 임계값이 나오는 분포뿐입니다.
| 구간 | 공식 | 임계값의 출처 |
|---|---|---|
| 평균, σ 미지 | x̄ ± t* × s / √n | n − 1 자유도의 t |
| 평균, σ 알 때 | x̄ ± z* × σ / √n | 표준정규분포 |
| 비율 (Wald) | p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) / n) | 표준정규분포 |
| 비율 (Wilson 점수) | (p̂ + z²/2n ± z √(p̂(1 − p̂)/n + z²/4n²)) / (1 + z²/n) | 표준정규분포 |
| 비율 (Clopper–Pearson) | 베타 분위수 B(α/2; x, n − x + 1)과 B(1 − α/2; x + 1, n − x) | 정확한 이항분포 |
| 두 평균 (Welch) | (x̄₁ − x̄₂) ± t* × √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) | Welch–Satterthwaite 자유도의 t |
표준편차가 자신의 표본에서 나왔다면, 거의 항상 t를 쓰세요. z 구간은 모집단 표준편차가 실제로 알려진 드문 경우, 예컨대 공표된 σ가 있는 표준화 시험에만 맞습니다. 비율에는 Wilson 점수 구간이 안전한 기본값입니다. 표본이 작거나 p̂가 0이나 1에 가까우면 Wald 구간은 참값을 포함하는 비율이 크게 떨어집니다. Clopper–Pearson은 최소한 명시된 포함 확률을 보장하므로 구간이 넓게 나옵니다.
실제 예시와 해석
학생 25명의 평균 점수는 64.8이고 표준편차는 9.6입니다. 표준오차는 9.6 / √25 = 1.92이고, 자유도 24에서 95% 신뢰도의 임계값은 t* = 2.0639입니다. 허용 오차는 2.0639 × 1.92 = 3.9627입니다. 구간은 60.8373에서 68.7627까지이며, APA 형식으로는 95% CI [60.84, 68.76]입니다.
올바른 해석은 이렇습니다. 모집단 평균이 60.84와 68.76 사이에 있다고 95% 확신한다. 95%는 이 구간이 아니라 방법에 대한 것입니다. 연구를 여러 번 반복하고 매번 구간을 만들면, 그 구간들의 약 95%가 참 평균을 포함할 것이며, 개별 구간은 포함하거나 포함하지 않습니다. “참 평균이 이 구간 안에 있을 확률이 95%다”라는 말은 가장 흔한 오해입니다.
비율의 경우, 120명 중 42명이 성공이면 p̂ = 0.35이고 95% Wilson 구간은 0.2705에서 0.4388까지입니다(Clopper–Pearson 0.2652~0.4424, Wald 0.2647~0.4353). 두 집단의 경우, 평균 78.2(SD 10.5, n = 30)와 72.6(SD 12.8, n = 28)을 비교하면 차이 5.6의 Welch 95% 구간은 자유도 52.34에서 −0.59부터 11.79까지입니다. 구간이 0을 포함하므로, 점 추정치는 커 보여도 α = .05에서 통계적으로 유의하지 않습니다.
흔한 실수
- 표본 표준편차에 z 쓰기. n = 25에서 t* = 2.064 대신 z* = 1.96을 쓰면 구간이 약 5% 좁아지며, 표본이 작을수록 차이가 커집니다.
- 겹치는 구간을 “차이 없음”으로 읽기. 두 95% 구간이 겹쳐도 두 집단의 차이는 유의할 수 있습니다. 차이 자체에 대한 구간을 계산하세요.
- 작은 표본에 Wald 구간 보고하기. 25번 시행에 성공이 2번이면 Wald 하한이 0 아래로 내려갑니다. Wilson 구간 0.0222에서 0.2497은 0과 1 사이에 머뭅니다.
- 신뢰도가 높을수록 좋다고 가정하기. 신뢰도를 높이면 구간은 넓어집니다. 같은 시험 점수에서 99%는 59.43에서 70.17까지입니다. 구간을 신뢰도가 높으면서도 좁게 만드는 것은 더 큰 표본뿐입니다.
자주 묻는 질문
- 신뢰구간이란 무엇인가요?
- 표본으로부터 계산한, 평균·비율·차이 같은 모수가 있을 법한 값의 범위입니다. 표본을 반복해서 뽑을 때 이런 구간 중 명시된 비율(신뢰수준, 흔히 95%)이 참값을 포함하도록 만들어집니다. 구간의 폭은 표본이 모수를 얼마나 정밀하게 특정하는지를 보여 줍니다.
- 평균에 대한 95% 신뢰구간은 어떻게 계산하나요?
- 임계값 × 표준오차를 더하고 뺍니다. x̄ ± t* × s / √n에서 t*는 n − 1 자유도 t분포의 97.5 백분위수입니다(n = 25면 2.064). 이 계산기는 각 단계를 보여 주며, 원자료를 넣으면 평균과 표준편차를 직접 계산합니다.
- 신뢰구간과 허용 오차는 어떻게 다른가요?
- 허용 오차는 구간 폭의 절반으로, 임계값 × 표준오차입니다. 구간은 추정값에서 그 허용 오차를 더하고 뺀 것입니다. 120명 중 42명은 35%이고 95% Wald 허용 오차는 8.5%포인트이므로, 구간은 약 26.5%에서 43.5%까지입니다.
- 비율에는 Wilson과 Clopper–Pearson 중 무엇을 써야 하나요?
- 대부분의 경우 Wilson입니다. 표본이 작거나 비율이 극단적이어도 포함 확률이 명시된 수준에 가깝게 유지되며, Wald를 대신해 요즘 통계학자들이 가장 많이 권하는 구간입니다. Clopper–Pearson은 최소한 명시된 포함 확률을 보장하므로 더 넓습니다. 프로토콜이나 규제 기관이 정확한 구간을 요구할 때 쓰세요.
- 99% 신뢰구간이 95%보다 넓은 이유는 무엇인가요?
- 참값을 더 자주 포함하려면 구간이 더 넓은 범위를 덮어야 하기 때문입니다. 자유도 24에서 임계 t는 2.064에서 2.797로 올라가므로, 허용 오차는 약 36% 커집니다. 신뢰도를 높이면서 정밀도도 그대로 유지하는 유일한 방법은 표본을 키우는 것입니다.
- 짝을 이룬 자료에도 신뢰구간을 구할 수 있나요?
- 네. 각 쌍의 차이(예: 사후 − 사전)를 계산해 평균용 원자료 입력에 붙여넣으면, 결과는 평균 차이의 신뢰구간입니다. 두 평균 옵션은 독립된 두 집단을 가정하므로, 짝을 이룬 측정에는 쓰지 마세요.