信頼区間計算ツール
平均（t または z）、比率（Wald、Wilson スコア、Clopper–Pearson の正確法）、二つの平均の差（Welch）について、任意の信頼水準で信頼区間を求めます。許容誤差、計算過程、そして正しい一文での解釈も示します。無料で、登録は不要です。
結果
60.8373 – 68.7627
95% 信頼区間
64.8
標本平均（x̄）
± 3.9627
許容誤差
1.92
標準誤差
2.0639
自由度 24 の t*
計算方法
SE = s / √n = 9.6 / √25 = 1.92
x̄ ± t* × SE = 64.8 ± 2.0639 × 1.92 = 64.8 ± 3.9627
母平均は 60.8373 から 68.7627 の間にあると、95% の信頼度で言えます。95% は方法についてのもので、この一つの区間についてではありません。多くの標本から区間を作ると、約 95% の区間が真の平均を含みます。この特定の区間は、真の平均を含むか含まないかのどちらかです。
APA 形式
95% CI [60.84, 68.76]
信頼区間計算ツールの使い方
- 1. 推定する対象を選びます。 一つの平均、一つの比率、または独立した二つの群の平均の差です。
- 2. 数値を入力します。 平均なら、平均値、標準偏差、標本サイズを入力するか、生データを貼り付けます。比率なら、成功数と標本サイズを入力します。二つの平均なら、各群の要約統計量を入力します。
- 3. 信頼水準を設定します。 95% が慣例ですが、0 から 100 の間の任意の水準が使えます：90、99、97.5 など。
- 4. 区間を読みます。 上限と下限、許容誤差、標準誤差、臨界値、計算過程、平易な言葉での解釈、そしてコピーできる APA 形式の区間が得られます。
公式
ここにあるすべての区間は同じ形をしています。推定値 ± 臨界値 × 標準誤差です。違いは、標準誤差と、臨界値がどの分布から来るかだけです。
| 区間 | 公式 | 臨界値の出所 |
|---|---|---|
| 平均、σ が未知 | x̄ ± t* × s / √n | 自由度 n − 1 の t |
| 平均、σ が既知 | x̄ ± z* × σ / √n | 標準正規分布 |
| 比率（Wald） | p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) / n) | 標準正規分布 |
| 比率（Wilson スコア） | (p̂ + z²/2n ± z √(p̂(1 − p̂)/n + z²/4n²)) / (1 + z²/n) | 標準正規分布 |
| 比率（Clopper–Pearson） | ベータ分位数 B(α/2; x, n − x + 1) と B(1 − α/2; x + 1, n − x) | 正確な二項分布 |
| 二つの平均（Welch） | (x̄₁ − x̄₂) ± t* × √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) | Welch–Satterthwaite の自由度による t |
標準偏差が自分の標本から来る場合（ほとんどこちらです）は t を使ってください。z 区間は、母集団の標準偏差が本当に既知の場合にのみ使います。たとえば、公表された σ がある標準化テストなどです。比率では、Wilson スコア区間が安全な既定値です。Wald 区間は、n が小さい場合や p̂ が 0 または 1 に近い場合に、カバー率が大きく不足します。Clopper–Pearson は少なくとも示された水準のカバー率を保証するため、区間は広くなります。
具体例と解釈
25人の学生の平均点が 64.8、標準偏差が 9.6 です。標準誤差は 9.6 / √25 = 1.92、自由度 24 の 95% 信頼水準での臨界値は t* = 2.0639、許容誤差は 2.0639 × 1.92 = 3.9627 です。区間は 60.8373 から 68.7627 までです。APA 形式では 95% CI [60.84, 68.76] になります。
正しい読み方は次のとおりです。母平均は 60.84 から 68.76 の間にあると、95% の信頼度で言えます。 95% は方法についてのもので、この区間そのものについてではありません。研究を何度も繰り返し、この方法で作った区間の約95%が真の平均を含むことになりますが、一つひとつの区間は、真の平均を含むか含まないかのどちらかです。「真の平均がこの区間に入る確率が95%である」というのは、最もよくある誤解です。
比率では、120人中42人の成功は p̂ = 0.35 となり、95% Wilson 区間は 0.2705 から 0.4388 です（Clopper–Pearson は 0.2652 から 0.4424、Wald は 0.2647 から 0.4353）。二つの群については、平均 78.2（SD 10.5、n = 30）と 72.6（SD 12.8、n = 28）を比べると、差 5.6 の Welch 95% 区間は、自由度 52.34 で −0.59 から 11.79 です。区間は 0 を含むため、α = .05 では統計的に有意ではありません。点推定値は大きく見えますが、です。
よくある間違い
- 標本の SD で z を使うこと。 n = 25 のとき、t* = 2.064 の代わりに z* = 1.96 を使うと、区間が約5%狭くなります。そのずれは n が小さいほど大きくなります。
- 重なる区間を「差がない」と読むこと。 二つの 95% 区間が重なっていても、群どうしの差は有意なことがあります。代わりに、差についての区間を計算してください。
- 小標本で Wald 区間を報告すること。 25回の試行で成功が2回の場合、Wald の下限は 0 を下回ります。Wilson 区間は 0.0222 から 0.2497 で、0 から 1 の範囲に収まります。
- 信頼度が高いほど良いと考えること。 信頼度を高めると区間は広くなります。同じ試験の得点では、99% で 59.43 から 70.17 になります。区間を信頼でき、かつ狭くするには、標本を大きくするしかありません。
よくある質問
- 信頼区間とは何ですか？
- 標本から計算された、母数（平均、比率、差など）として考えられる値の範囲です。同じ方法で多数の標本を繰り返し取ったとき、そのような区間のうち一定の割合（信頼水準。多くは95%）が真の値を含むように作られています。区間の幅は、標本がその母数をどれほど正確に絞り込んでいるかを示します。
- 平均の 95% 信頼区間はどう計算しますか？
- 臨界値に標準誤差を掛けたものを、推定値から引き、足します。x̄ ± t* × s / √n です。ここで t* は、自由度 n − 1 の t 分布の97.5パーセンタイルです（n = 25 なら 2.064）。このツールは各段階を計算して計算過程を示すか、生データから平均と標準偏差を計算します。
- 信頼区間と許容誤差の違いは何ですか？
- 許容誤差は、区間の幅の半分です。臨界値 × 標準誤差です。区間は、推定値にその許容誤差を足し引きしたものです。120人中42人の成功は 35% で、95% Wald 許容誤差は 8.5 パーセントポイントなので、区間はおよそ 26.5% から 43.5% になります。
- 比率には Wilson と Clopper–Pearson のどちらを使うべきですか？
- 多くの場合は Wilson です。小標本や極端な比率でも、カバー率が示された水準に近く保たれ、現在の統計学者が Wald の代わりに推奨することが多い区間です。Clopper–Pearson は少なくとも示された水準のカバー率を保証するため、より広くなります。プロトコルや規制当局が正確な区間を求める場合に使ってください。
- なぜ 99% の信頼区間は 95% より広いのですか？
- 真の値をより高い確率で捉えるためには、区間がより広い範囲をカバーする必要があるからです。自由度 24 では、臨界 t は 2.064 から 2.797 に上がるため、許容誤差は約36%増えます。より高い信頼度を、同じ精度のまま得る唯一の方法は、標本を大きくすることです。
- 対応のあるデータの信頼区間は求められますか？
- はい。各対の差（例：後 − 前）を計算し、その差を平均の生データの欄に貼り付けると、平均の差に対する信頼区間が得られます。二つの平均のオプションは独立した二つの群を前提としているため、対応のある測定には使わないでください。