Simulator voor de centrale limietstelling

Resultaten

1.000 steekproeven, elk het gemiddelde van 30 trekkingen uit deze populatie — 30.000 willekeurige trekkingen in totaal. Seed: 2024.

Bij n = 30 is de voorspelde scheefheid van de steekproefgemiddelden 0,365: nog duidelijk scheef, dus de normale kromme is maar een grove benadering. Een grotere n brengt hem dichterbij.

Dit is een illustratie, geen bewijs. Bij een eindig aantal steekproeven wiebelen de staven een paar procent rond de kromme, en een andere seed verschuift ze weer.

Zo gebruik je de simulator voor de centrale limietstelling

1. 1. Kies een populatie. Begin met de rechts scheve, probeer daarna de sterk scheve, bimodale en ja/nee-populaties, waarvan de vorm helemaal niet op een klok lijkt.
2. 2. Stel de steekproefgrootte n in. Elke steekproef is n willekeurige trekkingen die tot één getal worden gemiddeld. Gebruik de snelknoppen om n te laten lopen door 1, 5, 30 en 100 en zie het histogram veranderen.
3. 3. Stel het aantal steekproeven in. Elke steekproef levert één gemiddelde aan het histogram. Meer steekproeven maken het plaatje gladder, maar ze veranderen niet hoe normaal de steekproefverdeling werkelijk is — alleen n doet dat.
4. 4. Animeer, of verander de seed. De animatie voegt de steekproeven een paar tegelijk toe, alleen als je op de knop drukt. Dezelfde seed reproduceert altijd hetzelfde plaatje; "Nieuwe willekeurige seed" kiest een andere.

Wat de centrale limietstelling zegt

Trek n onafhankelijke waarden uit een willekeurige populatie met een eindig gemiddelde μ en een eindige standaarddeviatie σ, en middel ze. Naarmate n groeit, nadert de verdeling van dat gemiddelde een normale verdeling met gemiddelde μ en standaarddeviatie σ/√n — de standaardfout — welke vorm de populatie ook heeft. De populatie wordt niet normaal; de verdeling van de steekproefgemiddelden wordt dat wel.

Hoe snel dat gaat, hangt af van de populatie. Een symmetrische populatie bereikt het snel, een scheve langzaam. De scheefheid van een steekproefgemiddelde is de scheefheid van de populatie gedeeld door √n, dus de tabel van de simulator kan die voorspellen voordat je iets draait:

Scheefheid is niet het hele verhaal: de bimodale populatie heeft scheefheid 0 en heeft toch meerdere trekkingen per steekproef nodig voordat de twee pieken samensmelten tot één. De gangbare vuistregel "n van 30 of meer is genoeg" past bij matig scheve data; de lognormale populatie heeft bij n = 100 nog een merkbare scheefheid. De simulator markeert een passing als dicht genoeg zodra de voorspelde scheefheid onder 0,25 zakt — een grove richtlijn, geen stelling.

Uitgewerkt voorbeeld: scheve populatie, n = 30

Met de standaardinstellingen — de exponentiële populatie (μ = 1, σ = 1), n = 30, 1.000 steekproeven, seed 2024 — voorspelt de stelling een standaardfout van 1/√30 = 0,1826 en een scheefheid van 0,3651. De 1.000 steekproefgemiddelden van deze run hebben een gemiddelde van 1,008, een sd van 0,1835 en een scheefheid van 0,3448, en 95,1% ervan ligt binnen 1,96 standaardfouten van 1, tegenover de 95% die een normale kromme zou geven.

De getallen liggen dicht bij de theorie, maar niet er precies op, en dat hoort ook zo: 1.000 steekproeven is een eindige run. De run maakte in totaal 30.000 willekeurige trekkingen; een andere seed verschuift elke staaf een beetje. De resterende scheefheid is ook echt — bij n = 30 zijn de gemiddelden van een exponentiële populatie nog iets rechts scheef, en daarom noemt de simulator de normale kromme hier een grove benadering.

Veelgestelde vragen

Wat zegt de centrale limietstelling in gewone woorden?

Gemiddelden van veel onafhankelijke waarnemingen zijn ongeveer normaal verdeeld, ook als de afzonderlijke waarnemingen dat niet zijn. Het gemiddelde van n waarden uit een populatie met gemiddelde μ en standaarddeviatie σ heeft gemiddelde μ en standaarddeviatie σ/√n, en de verdeling lijkt meer op een klokkromme naarmate n groeit.

Hoe groot moet de steekproefgrootte zijn?

Er is geen vast getal. Voor ongeveer symmetrische populaties volstaat een n van 10 tot 15; voor matig scheve populaties is een n van 30 de gebruikelijke regel; voor sterk scheve (zoals de lognormale hier) kan een n van 100 of meer nodig zijn. Draai de simulator op een populatie zoals die van jou en kijk naar het histogram.

Maakt de stelling de populatie normaal?

Nee. De populatie behoudt haar vorm. Wat naar normaliteit toe gaat, is de verdeling van het steekproefgemiddelde, en daarom werken t-toetsen en betrouwbaarheidsintervallen voor een gemiddelde redelijk goed op matig niet-normale data zodra n niet klein is.

Waarom is mijn gesimuleerde standaarddeviatie niet precies σ/√n?

Omdat de run een eindige steekproef van steekproefgemiddelden is. Bij 1.000 steekproeven komt de gesimuleerde sd meestal binnen een paar procent van de theoretische standaardfout uit; verhoog het aantal steekproeven om die strakker te krijgen. Een andere seed geeft elke keer een iets andere waarde.

Werkt de centrale limietstelling altijd?

Niet als de populatie geen eindige variantie heeft, zoals de Cauchy-verdeling, waarvan het steekproefgemiddelde net zo variabel is als één waarneming. Ze gaat ook uit van onafhankelijke trekkingen; gecorreleerde data, zoals herhaalde metingen bij één persoon, convergeren langzamer of helemaal niet.

Wat doet de seed, en is de willekeur echt?

De trekkingen zijn pseudo-willekeurige getallen die uit je seed worden gegenereerd, dus dezelfde seed, populatie, n en aantal steekproeven geven altijd precies hetzelfde plaatje — handig om een voorbeeld te delen. "Nieuwe willekeurige seed" kiest een seed met de veilige willekeurige generator van je browser. Alles draait in je browser; er wordt niets geüpload.