Kalkulator reguły empirycznej

Jak korzystać z kalkulatora reguły empirycznej

1. 1. Wybierz punkt wyjścia. Wpisz średnią i odchylenie standardowe albo przełącz na „Lista danych” i wklej liczby — kalkulator sam wyznaczy średnią i próbkowe odchylenie standardowe.
2. 2. Dodaj opcjonalne dane. Liczba wartości podaje oczekiwaną liczbę wyników w każdym przedziale; własna liczba odchyleń SD dodaje wiersz dla dowolnej odległości, na przykład 2,5.
3. 3. Odczytaj przedziały. Trzy karty podają zakresy obejmujące około 68%, 95% i 99,7% wartości, a cieniowana krzywa pokazuje je zagnieżdżone.
4. 4. Porównaj. Tabela zestawia regułę z dokładnymi udziałami rozkładu normalnego i z minimum Czebyszewa, które obowiązuje dla dowolnego rozkładu. Przy wklejonych danych pokazuje też, ile Twoich wartości faktycznie mieści się w każdym przedziale.

Reguła 68–95–99,7

Dla danych zgodnych z rozkładem normalnym około 68% wartości leży w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej, około 95% w odległości dwóch, a około 99,7% w odległości trzech. Zapisane symbolicznie, przy średniej μ i odchyleniu standardowym σ przedziały to μ ± σ, μ ± 2σ i μ ± 3σ. Nazywa się ją też regułą trzech sigm.

Reguła jest zaokrąglonym podsumowaniem, więc w sprawach wymagających precyzji używaj dokładnych wartości — przy z = 2 powyżej zostaje 2,28%, a nie 2,5%, które sugeruje reguła. Ponieważ krzywa jest symetryczna, reguła dzieli się także na pół: około 34% wartości leży między średnią a jednym odchyleniem powyżej niej, około 47,5% między średnią a dwoma, a około 49,85% między średnią a trzema.

Gdy dane nie są normalne: nierówność Czebyszewa

Reguła empiryczna wymaga dzwonowego, mniej więcej symetrycznego rozkładu. Nierówność Czebyszewa wymaga tylko skończonej wariancji: co najmniej 1 − 1 ÷ k² wartości leży w odległości k odchyleń standardowych od średniej, w dowolnym rozkładzie. Jest to informatywne dopiero powyżej jednego odchylenia standardowego — gwarantuje co najmniej 75% w granicach 2σ i co najmniej 88,89% w granicach 3σ. Cena ogólności jest taka, że to dolna granica, a nie oszacowanie; dla danych normalnych rzeczywiste udziały (95,45% i 99,73%) są znacznie wyższe.

Przykłady krok po kroku

Kliknij „Wypróbuj przykład”: oceny z egzaminu o średniej 72 i odchyleniu standardowym 8, dla 1 000 uczniów. Około 68% ocen mieści się między 72 − 8 = 64 a 72 + 8 = 80; około 95% między 56 a 88; a około 99,7% między 48 a 96. Według dokładnych udziałów rozkładu normalnego w tych przedziałach powinno się znaleźć 682,7; 954,5 i 997,3 z 1 000 ocen. Przy opcjonalnym k równym 2,5 przedział to od 52 do 92, który obejmuje 98,76% rozkładu normalnego i co najmniej 84% dowolnego rozkładu.

Teraz „Wypróbuj przykład danych”: 25 ocen od 52 do 95. Ich średnia to 72,08, a próbkowe odchylenie standardowe 9,183, więc przedział jednego SD to od 62,897 do 81,263. Spośród 25 ocen 19 (76%) mieści się w środku, 23 (92%) w granicach dwóch odchyleń, a wszystkie 25 w granicach trzech. To nieco powyżej 68% przy jednym SD i nieco poniżej 95% przy dwóch — taka różnica jest typowa dla tak małej próby, więc nie ma tu oznak rzeczywistego odejścia od normalności.

Sprawdzanie, czy reguła ma zastosowanie

Najpierw spójrz na histogram: jeden szczyt, mniej więcej symetryczny, bez długiego ogona. Następnie porównaj udziały w swoich danych z tabelą, jak wyżej. Duży nadmiar wartości w obrębie jednego SD i zbyt wiele wartości poza trzema odchyleniami wskazują na grube ogony; jednostronny układ wskazuje na skośność. Do formalnego sprawdzenia użyj kalkulatora Shapiro-Wilka albo zajrzyj do skośności i kurtozy.

Najczęstsze pytania

Czym jest reguła empiryczna w statystyce?

Mówi, że w rozkładzie normalnym około 68% wartości mieści się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej, około 95% w odległości dwóch i około 99,7% w odległości trzech. To szybki sposób na ocenę, jak nietypowa jest wartość, bez tablicy z. Nazywa się ją też regułą 68–95–99,7 lub regułą trzech sigm.

Jak używać reguły empirycznej?

Wyznacz średnią i odchylenie standardowe, a następnie dodaj i odejmij od średniej jedno, dwa i trzy odchylenia standardowe. Dla średniej 72 i SD 8 około 68% wartości mieści się między 64 a 80, a około 95% między 56 a 88. Aby policzyć procent między dwiema wartościami, przelicz je na odległości od średniej w odchyleniach SD i dodaj odpowiednie części.

Jaki procent leży między średnią a jednym odchyleniem standardowym?

Około 34%, czyli połowa z 68% w granicach jednego odchylenia, ponieważ krzywa normalna jest symetryczna. Dokładna wartość to 34,13%. Między jednym a dwoma odchyleniami powyżej średniej leży około 13,5% (dokładnie 13,59%), a między dwoma a trzema około 2,14%.

Jaka jest różnica między regułą empiryczną a twierdzeniem Czebyszewa?

Reguła empiryczna daje przybliżone procenty, ale tylko dla danych dzwonowych i symetrycznych. Twierdzenie Czebyszewa daje gwarantowane minimum dla dowolnego rozkładu, równe 1 − 1 ÷ k², i jest znacznie niższe: 75% w granicach dwóch odchyleń zamiast około 95%. Używaj reguły, gdy dane wyglądają na normalne, a Czebyszewa, gdy nic nie wiesz o kształcie rozkładu.

Czy reguła empiryczna działa dla danych nienormalnych?

Tylko z grubsza, i nie dla danych skośnych ani o grubych ogonach. W rozkładzie skośnym oba ogony są nierówne, więc symetryczny podział reguły zawodzi, a grube ogony umieszczają ponad 0,3% wartości poza trzema odchyleniami. Najpierw sprawdź kształt albo przyjmij gwarancję Czebyszewa.

Dlaczego to 99,7%, a nie 100%?

Krzywa normalna nigdy nie dotyka zera, więc zawsze jakieś wartości leżą poza trzema odchyleniami — łącznie około 0,27%, czyli 0,13% w każdym ogonie. Dlatego reguła trzech sigm traktuje punkt poza trzema SD jako nietypowy, choć w dużym zbiorze danych kilka takich punktów jest spodziewanych.