Công Cụ Tính Phân Phối Mũ
Nhập tốc độ λ hoặc trung bình của một phân phối mũ và một giá trị x, rồi nhận mật độ, xác suất tích lũy và xác suất vượt, xác suất của một khoảng, trung vị và bất kỳ phân vị nào — kèm cách tính, kiểm tra tính không nhớ và đường cong có tô bóng. Miễn phí, không cần đăng ký.
Thêm P(x ≤ X ≤ giá trị này) vào kết quả.
Cho thấy thời gian chờ còn lại không phụ thuộc vào s.
Tìm x với P(X ≤ x) = p, chẳng hạn 0,9 cho bách phân vị thứ 90.
Kết quả
λ = 1/trung bình = 1/4 = 0,25
| Xác suất | Ý nghĩa | Giá trị |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | tối đa 6 (cũng là: nhỏ hơn 6) | 0,7769 |
| P(X > 6) | lớn hơn 6 (cũng là: ít nhất 6; hàm sống sót) | 0,2231 |
| f(6) | Mật độ tại x: f(x) = λe^(−λx). Đây là mật độ, không phải xác suất: nó có thể vượt quá 1. | 0,055783 |
4
Trung bình (1/λ)
16
Phương sai (1/λ²)
4
Độ lệch chuẩn (1/λ)
2,7726
Trung vị (ln 2 / λ)
0,25
Tỷ lệ nguy cơ (λ)
Tính không nhớ
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. Hai giá trị này bằng nhau: việc đã chờ 3 không làm thay đổi thời gian chờ còn lại.
Phân vị
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Vậy P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
Đường cong mật độ
Mật độ mũ với λ = 0,25. Diện tích được tô bóng dưới đường cong là P(X ≤ x).
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Phân Phối Mũ
- 1. Cho biết bạn biết tham số nào. Chọn tốc độ λ (số sự kiện trên một đơn vị thời gian) hoặc trung bình 1/λ (đơn vị thời gian trên một sự kiện), rồi nhập vào. Công cụ sẽ quy đổi tham số còn lại và hiển thị phép quy đổi.
- 2. Nhập x. Thời gian, khoảng cách hoặc đại lượng khác mà bạn đang hỏi. Thêm một đầu trên nếu bạn muốn xác suất của một khoảng.
- 3. Thêm tùy chọn. Nhập thời gian đã chờ, s, để xem tính không nhớ hoạt động ra sao, hoặc xác suất p để tìm x chia cắt nó (p = 0,9 cho bách phân vị thứ 90).
- 4. Đọc kết quả. P(X ≤ x), P(X > x), mật độ f(x), trung bình, phương sai, trung vị và tỷ lệ nguy cơ, cùng một đường cong với xác suất của bạn được tô bóng.
Phân Phối Mũ Mô Hình Hóa Điều Gì
Phân phối mũ mô tả thời gian chờ đến sự kiện tiếp theo khi các sự kiện xảy ra độc lập với tốc độ trung bình không đổi: khoảng cách giữa các cuộc gọi đến đường dây trợ giúp, thời gian đến khi một nguyên tử phóng xạ phân rã, khoảng cách giữa các khuyết tật dọc theo một sợi cáp. Đây là bản liên tục của phân phối hình học, và nó gắn liền với phân phối Poisson: nếu số sự kiện trong một khoảng thời gian tuân theo Poisson với tốc độ λ, thì các khoảng chờ giữa các sự kiện là mũ với cùng λ.
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Mật độ | f(x) = λe−λx |
| Xác suất tích lũy | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Hàm sống sót | P(X > x) = e−λx |
| Phân vị với xác suất p | x = −ln(1 − p) / λ |
| Trung bình và độ lệch chuẩn | 1/λ mỗi đại lượng |
| Phương sai | 1/λ² |
| Trung vị | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
Tốc Độ Hay Trung Bình? Kiểm Tra Nguồn Của Bạn Dùng Cái Nào
Sách giáo khoa khác nhau ở tham số. Một số viết tốc độ λ; số khác viết trung bình (hoặc tỷ lệ) θ = β = 1/λ. Phần mềm cũng vậy: dexp, pexp và qexp của R nhận tốc độ, và EXPON.DIST của Excel cũng vậy, còn scipy.stats.expon của Python nhận scale = 1/λ. Nhầm lẫn giữa hai cách là lỗi phổ biến nhất với phân phối này — trung bình 4 phút là tốc độ 0,25 mỗi phút, không phải 4. Hãy chọn tùy chọn tương ứng ở trên, và công cụ sẽ tự quy đổi.
Ví Dụ Minh Họa: Thời Gian Chờ Giữa Các Cuộc Gọi
Các cuộc gọi đến đường dây trợ giúp trung bình cứ 4 phút một cuộc, nên trung bình là 4 và λ = 1/4 = 0,25 mỗi phút. Xác suất để cuộc gọi tiếp theo kéo dài tối đa 6 phút là P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, và xác suất nó kéo dài lâu hơn là P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231. Xác suất thời gian chờ nằm giữa 2 và 6 phút là e−0,5 − e−1,5 = 0,3834.
Thời gian chờ trung vị là ln 2 / 0,25 = 2,7726 phút — ngắn hơn trung bình là 4, vì phân phối lệch phải. Bách phân vị thứ 90 là −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 phút: chín trong mười cuộc gọi đến trong vòng khoảng 9,2 phút kể từ cuộc trước.
Tính Không Nhớ
Giả sử đã trôi qua 3 phút mà không có cuộc gọi nào. Xác suất phải chờ ít nhất thêm 6 phút là P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231 — đúng bằng P(X > 6), con số của một điểm khởi đầu mới. Phân phối mũ là phân phối liên tục duy nhất có tính chất này, và nó suy ra từ tỷ lệ nguy cơ không đổi: tại mọi thời điểm, xác suất có một sự kiện trong khoảnh khắc tiếp theo là λ, bất kể bạn đã chờ bao lâu.
Khi Phân Phối Mũ Là Mô Hình Sai
Tính không nhớ là một giả định mạnh. Pin hoặc con người đều lão hóa, nên một mô hình thời gian sống có tỷ lệ nguy cơ tăng (Weibull hoặc gamma) phù hợp hơn phân phối mũ; phân phối mũ hợp với các sự kiện xảy ra không do hao mòn, như các lần đến ngẫu nhiên.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Làm thế nào để tìm λ từ trung bình?
- Lấy nghịch đảo: λ = 1/trung bình. Thời gian chờ trung bình 4 phút cho λ = 0,25 mỗi phút, và tốc độ 3 sự kiện mỗi giờ cho trung bình 1/3 giờ, tức 20 phút. Giữ đơn vị của x nhất quán với đơn vị của λ, nếu không các xác suất sẽ sai.
- Tính không nhớ có nghĩa là gì?
- Nghĩa là P(X > s + t | X > s) = P(X > t): thời gian bạn đã chờ không làm thay đổi phân phối của thời gian còn lại. Nếu xe buýt đến ngẫu nhiên với khoảng cách trung bình 10 phút, sau khi chờ 20 phút, thời gian chờ còn lại kỳ vọng vẫn là 10 phút.
- Phân phối mũ và Poisson liên hệ với nhau thế nào?
- Chúng mô tả cùng một quá trình từ hai phía. Poisson đếm số sự kiện trong một khoảng thời gian cố định; mũ đo thời gian giữa các sự kiện. Nếu các cuộc gọi đến với tốc độ 3 mỗi giờ (Poisson, λ = 3), thì khoảng cách giữa các cuộc gọi tuân theo phân phối mũ với trung bình 20 phút, và xác suất phải chờ hơn 5 phút là e−3 × 5/60 = 0,7788.
- Làm thế nào để tính P(X > x) cho phân phối mũ?
- Dùng hàm sống sót e−λx. Với λ = 0,25 và x = 6, đó là e−1,5 = 0,2231. Không cần trừ từ 1 — đó là lý do công cụ tính trực tiếp phần đuôi trên và giữ được độ chính xác rất xa trong đuôi.
- Tại sao trung vị nhỏ hơn trung bình?
- Phân phối lệch phải mạnh: nhiều thời gian chờ ngắn và vài thời gian rất dài kéo trung bình lên. Trung vị là ln 2 / λ, khoảng 69% của trung bình 1/λ. Một nửa số thời gian chờ ngắn hơn 0,69 lần thời gian chờ trung bình.
- Phân phối mũ có phải là mô hình tốt cho thời gian sống không?
- Chỉ khi tỷ lệ hỏng hóc là hằng số, như với các cú sốc ngẫu nhiên hoặc linh kiện điện tử trong thời gian sử dụng hữu ích. Hao mòn, tử vong sơ sinh và lão hóa đều làm tỷ lệ nguy cơ thay đổi theo thời gian, và khi đó phân phối mũ đánh giá sai cả hai đuôi. Hãy kiểm tra mức độ phù hợp trước khi dựa vào nó.