Calculateur d'intervalle de confiance par bootstrap
Collez vos données, choisissez une statistique (moyenne, médiane, écart-type ou corrélation) et obtenez les intervalles de confiance bootstrap des percentiles et BCa, l'erreur type et le biais du bootstrap, ainsi qu'un histogramme de la statistique rééchantillonnée. La graine aléatoire est enregistrée : chaque résultat se répète à l'identique, et la méthode suit Efron et Tibshirani ainsi que boot.ci de R. Gratuit, sans inscription ; vos données restent dans votre navigateur.
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Mêmes données, mêmes réglages et même graine donnent toujours les mêmes intervalles.
Saisissez vos données, puis cliquez sur « Lancer le bootstrap ».
Comment utiliser le calculateur d'intervalle de confiance par bootstrap
- 1. Choisissez la statistique et collez les données. Pour une moyenne, une médiane ou un écart-type, saisissez une seule liste de nombres. Pour une corrélation, saisissez des paires de valeurs x et y. Les échantillons allant jusqu'à 2 000 valeurs sont acceptés.
- 2. Réglez le niveau de confiance et le nombre de rééchantillonnages. 95 % et 5 000 rééchantillonnages sont de bonnes valeurs par défaut ; utilisez 10 000 ou plus si vous voulez que les bornes de l'intervalle soient stables au centième près.
- 3. Notez la graine. La graine initialise le générateur de nombres aléatoires. Les mêmes données, les mêmes réglages et la même graine donnent toujours des intervalles identiques : indiquez la graine dans votre section méthodes. Cliquez sur « Nouvelle graine aléatoire » pour obtenir un nouveau jeu de rééchantillonnages.
- 4. Cliquez sur « Lancer le bootstrap ». Lisez les intervalles des percentiles et BCa, l'erreur type et le biais du bootstrap, puis vérifiez l'histogramme des statistiques rééchantillonnées.
Ce que fait le bootstrap
Le bootstrap traite votre échantillon comme un substitut de la population. Il tire un nouvel échantillon de même taille avec remise à partir de vos données, calcule la statistique, et répète l'opération des milliers de fois. La dispersion de ces statistiques rééchantillonnées montre à quel point la statistique varierait d'un échantillon à l'autre. Il n'a pas besoin de formule pour l'erreur type : il fonctionne donc pour les médianes, les corrélations et d'autres statistiques pour lesquelles les intervalles des manuels sont difficiles à appliquer ou indisponibles. Ce n'est pas magique : il ne peut pas corriger un échantillon biaisé ou très petit, et il échoue pour les statistiques qui dépendent des valeurs extrêmes, comme le maximum.
Intervalles des percentiles, BCa, de base et normal
| Intervalle | Mode de calcul | Points forts | Limites |
|---|---|---|---|
| Percentiles | Les 95 % centraux des statistiques rééchantillonnées (les percentiles 2,5 % et 97,5 %) | Simple ; reste dans l'intervalle des valeurs possibles ; respecte les transformations | Biaisé lorsque la statistique est biaisée ou asymétrique |
| BCa | Percentiles, mais ajustés pour corriger le biais (z₀) et l'asymétrie (accélération a) | Précis au second ordre ; la valeur recommandée par défaut (Efron et Tibshirani, 1993) | Demande un échantillon assez grand et suffisamment de rééchantillonnages |
| De base | 2 × estimation − les percentiles opposés | Reflète l'écart entre la distribution bootstrap et l'estimation | Peut sortir de l'intervalle des valeurs possibles, par exemple une corrélation supérieure à 1 |
| Normal | Estimation − biais ± z × erreur type bootstrap | Facile à lire | Suppose une distribution bootstrap en cloche |
Le BCa utilise deux nombres. La correction du biais z₀ = Φ⁻¹(part des rééchantillonnages inférieurs à l'estimation) vaut 0 lorsque les statistiques rééchantillonnées sont centrées sur l'estimation. L'accélération a mesure la vitesse à laquelle l'erreur type varie avec le paramètre ; elle est estimée à partir du jackknife, c'est-à-dire la statistique recalculée en retirant tour à tour chaque valeur. Les percentiles réellement lus sont Φ(z₀ + (z₀ + z) ÷ (1 − a(z₀ + z))) au lieu de 2,5 % et 97,5 %, interpolés entre les statistiques d'ordre sur l'échelle normale, exactement comme le fait le paquet boot de R.
Un exemple détaillé
Cliquez sur « Essayer un exemple » pour charger 12 valeurs : 2,1 ; 2,4 ; 2,6 ; 2,7 ; 2,9 ; 3 ; 3,2 ; 3,5 ; 3,9 ; 4,6 ; 5,8 et 8,2, un échantillon asymétrique à droite, avec la moyenne comme statistique, un niveau de confiance de 95 %, 5 000 rééchantillonnages et la graine 12345. La moyenne est 3,7417. L'erreur type du bootstrap est 0,4812 et le biais −0,0054.
- Intervalle des percentiles : de 2,9333 à 4,7998.
- Intervalle BCa : de 3,05 à 5,125, avec z₀ = 0,0818 et a = 0,0755. L'asymétrie des données décale l'intervalle BCa vers le haut et étire son extrémité supérieure par rapport à l'intervalle des percentiles.
- Pour comparaison, l'intervalle t classique va de 2,635 à 4,848. Il est symétrique autour de la moyenne et ignore l'asymétrie.
Comme le générateur est initialisé par une graine, ces nombres se répètent à chaque exécution. Avec 200 000 rééchantillonnages, boot.ci de R donne un intervalle des percentiles de 2,917 à 4,792 et un intervalle BCa de 3,033 à 5,1 pour les mêmes données : c'est la même méthode, avec des tirages aléatoires différents, de sorte que les résultats concordent à l'erreur de Monte-Carlo près. Avec la médiane comme statistique, les mêmes réglages donnent une médiane de 3,1, un intervalle des percentiles de 2,65 à 4,25 et un intervalle BCa de 2,6 à 4,05 ; dans ce cas, l'accélération du jackknife est nulle, car retirer une valeur d'un échantillon de taille paire ne peut déplacer la médiane que vers l'une de deux valeurs. Pour l'exemple de corrélation, l'estimation est r = 0,9063, l'intervalle des percentiles va de 0,7371 à 0,9706 et l'intervalle BCa de 0,6703 à 0,9632 ; la borne supérieure de l'intervalle de base dépasse 1, c'est pourquoi l'intervalle des percentiles ou BCa est préféré.
Choisir le nombre de rééchantillonnages
Efron et Tibshirani suggèrent 50 à 200 rééchantillonnages pour une erreur type, mais au moins 1 000 pour un intervalle de confiance, car les bornes de l'intervalle proviennent des queues de la distribution rééchantillonnée, où il y a peu de valeurs. L'erreur de Monte-Carlo d'une borne diminue avec la racine carrée du nombre de rééchantillonnages : 20 000 rééchantillonnages la réduisent donc à environ la moitié de ce que donnent 5 000. L'erreur due au rééchantillonnage est distincte de l'erreur due à un petit échantillon, que davantage de rééchantillonnages ne peut pas corriger.
Questions fréquentes
- Qu'est-ce qu'un intervalle de confiance bootstrap ?
- C'est un intervalle pour une statistique, construit en rééchantillonnant vos propres données avec remise, en recalculant la statistique à chaque fois, puis en lisant l'intervalle dans la distribution des résultats. Pour un intervalle des percentiles à 95 %, on prend les percentiles 2,5 et 97,5 des statistiques rééchantillonnées.
- Faut-il utiliser l'intervalle des percentiles ou l'intervalle BCa ?
- BCa est le meilleur choix par défaut, car il corrige le biais et l'asymétrie de la distribution rééchantillonnée et il est plus précis, en théorie comme en pratique. Utilisez l'intervalle des percentiles lorsque vous voulez l'explication la plus simple, lorsque l'échantillon est très petit, ou lorsque le BCa ne peut pas être calculé parce que tous les rééchantillonnages se situent d'un seul côté de l'estimation.
- Combien de rééchantillonnages bootstrap faut-il ?
- Au moins 1 000 pour un intervalle de confiance, et 5 000 à 10 000 pour un intervalle BCa stable. Davantage de rééchantillonnages réduisent le tremblement aléatoire des bornes de l'intervalle, mais ne rendent pas un petit échantillon plus informatif.
- À quoi sert la graine aléatoire ?
- Le bootstrap utilise des nombres aléatoires : deux exécutions donnent normalement des intervalles légèrement différents. Une graine fixe la suite de nombres, ce qui rend l'exécution strictement reproductible. Indiquez la graine, le nombre de rééchantillonnages et la méthode pour que d'autres puissent reproduire vos intervalles.
- Les résultats seront-ils identiques à ceux de R, de SPSS ou de Stata ?
- Les méthodes sont les mêmes : les intervalles des percentiles et BCa suivent boot.ci de R, et les mêmes rééchantillonnages donnent des intervalles identiques. Chaque logiciel utilise cependant son propre générateur aléatoire, de sorte que les intervalles concordent à l'erreur de Monte-Carlo près, et non jusqu'au dernier chiffre. Avec quelques milliers de rééchantillonnages, l'écart se situe généralement au deuxième chiffre après la virgule.
- Quand ne faut-il pas utiliser le bootstrap ?
- Avec de très petits échantillons (moins d'environ 10 à 15 valeurs), qui peuvent ne pas représenter la population ; pour les statistiques dominées par les valeurs extrêmes, comme le minimum ou le maximum ; avec des données dépendantes, comme les séries temporelles, sauf si vous utilisez un bootstrap par blocs ; et lorsque l'échantillon est biaisé, car le rééchantillonnage reproduit le biais.