ブートストラップ信頼区間計算ツール
データを貼り付け、平均、中央値、標準偏差、相関係数のいずれかを選ぶと、パーセンタイル法とBCa法のブートストラップ信頼区間、ブートストラップ標準誤差とバイアス、再標本化した統計量のヒストグラムが得られます。乱数シードが記録されるため、結果は必ず同じ値で繰り返されます。手法はEfronとTibshiraniの方法に従い、Rのboot.ciと同じです。無料、登録不要。データはブラウザ内に留まります。
0 個の値を検出しました
同じデータ、設定、シードであれば、区間は常に同じになります。
データを入力してから、「ブートストラップを実行」を押してください。
ブートストラップ信頼区間計算ツールの使い方
- 1. 統計量を選び、データを貼り付けます。 平均、中央値、標準偏差では数値のリストを1つ入力します。相関係数では、対応するxとyの値を入力します。最大2,000個の値まで対応しています。
- 2. 信頼水準と再標本数を設定します。 既定の95%と5,000回は標準的な設定です。区間の端点を小数第2位まで安定させたい場合は、10,000回以上にしてください。
- 3. シードを控えておきます。 シードは乱数生成器の開始点です。同じデータ、設定、シードであれば、区間は必ず同じになります。シードは方法の節に書いておきましょう。「新しい乱数シード」を押すと、新しい再標本が得られます。
- 4. 「ブートストラップを実行」を押します。 パーセンタイル法とBCa法の区間、ブートストラップ標準誤差とバイアスを読み取り、再標本化した統計量のヒストグラムを確認してください。
ブートストラップの仕組み
ブートストラップは、手元の標本を母集団の代わりとみなす方法です。データから、同じ大きさの新しい標本を復元抽出（抽出した値を戻してから次を抽出するため、同じ値が重複して選ばれることがある方法）で作り、統計量を計算します。これを何千回も繰り返します。再標本化した統計量の散らばりから、標本が変わるごとに統計量がどれだけ変わりうるかがわかります。標準誤差の公式は必要ないため、中央値や相関係数など、教科書的な区間の公式が使いにくい、または存在しない統計量にも使えます。ただし万能ではありません。偏った標本や非常に小さな標本を補正することはできず、最大値のように極端な値に依存する統計量では機能しません。
パーセンタイル法、BCa法、基本法、正規近似法の区間
| 区間 | 作り方 | 長所 | 短所 |
|---|---|---|---|
| パーセンタイル法 | 再標本化した統計量の中央95%（2.5パーセンタイルと97.5パーセンタイル） | 単純で、統計量のとりうる範囲の内側に収まる。変数変換に対して不変 | 統計量に偏りや歪みがあると偏る |
| BCa法 | パーセンタイル法と同様だが、偏りの補正（z₀）と歪みの補正（加速度a）を施した調整済みパーセンタイルを使う | 2次の精度を持つ。推奨される標準的な方法（Efron と Tibshirani, 1993） | ある程度大きな標本と、十分な再標本数が必要 |
| 基本法 | 2 × 推定値 − 反対側のパーセンタイル | ブートストラップ分布が推定値をどうずれて捉えるかを反映する | 統計量のとりうる範囲を超えることがある（例：相関係数が1を超える） |
| 正規近似法 | 推定値 − バイアス ± z × ブートストラップ標準誤差 | 読み取りやすい | ブートストラップ分布が釣り鐘型であると仮定する |
BCa法では2つの数値を使います。偏りの補正 z₀ = Φ⁻¹（推定値より小さい再標本の割合）は、再標本化した統計量が推定値を中心に分布しているとき0になります。加速度 a は、標準誤差がパラメータに応じてどれだけ速く変わるかを表します。これはジャックナイフ（各値を1つずつ除いて統計量を計算し直す方法）から推定します。実際に読み取るパーセンタイルは、2.5%と97.5%ではなく、Φ(z₀ + (z₀ + z) ÷ (1 − a(z₀ + z))) です。値は、Rのbootパッケージと同様に、正規分布の目盛り上で順序統計量の間を補間して求めます。
具体例
「例を試す」を押すと、12個の値が読み込まれます。2.1, 2.4, 2.6, 2.7, 2.9, 3, 3.2, 3.5, 3.9, 4.6, 5.8, 8.2 で、右に歪んだ標本です。統計量は平均、信頼水準は95%、再標本数は5,000回、シードは12345です。平均は3.7417、ブートストラップ標準誤差は0.4812、バイアスは−0.0054です。
- パーセンタイル区間： 2.9333から4.7998まで。
- BCa区間： 3.05から5.125まで。z₀ = 0.0818、a = 0.0755です。データの歪みによって、BCa区間はパーセンタイル区間より上にずれ、上端は長く伸びます。
- 比較のため、 古典的なt区間は2.635から4.848までです。これは平均の周りで対称であり、歪みを無視しています。
乱数生成器にシードを設定しているため、これらの数値は実行するたびに同じになります。同じデータに対して、R の boot.ci を200,000回の再標本で実行すると、パーセンタイル区間は2.917から4.792まで、BCa区間は3.033から5.1までになります。手法は同じですが乱数の引き方が異なるため、モンテカルロ誤差の範囲で一致します。統計量を中央値にすると、同じ設定で中央値は3.1、パーセンタイル区間は2.65から4.25まで、BCa区間は2.6から4.05までです。この例では加速度がゼロになります。偶数個の標本から1つの値を除いても、中央値は2つの値のどちらかにしか動かないためです。相関係数の例では、推定値は r = 0.9063、パーセンタイル区間は0.7371から0.9706まで、BCa区間は0.6703から0.9632までです。基本法の上端は1を超えるため、パーセンタイル法かBCa法が推奨されます。
再標本数の決め方
Efron と Tibshirani は、標準誤差には50〜200回、信頼区間には少なくとも1,000回の再標本を勧めています。区間の端点は再標本化した分布の裾から決まり、そこには値が少ないためです。端点のモンテカルロ誤差は再標本数の平方根に比例して小さくなるので、20,000回では5,000回の約半分になります。再標本化による誤差は、標本が小さいことによる誤差とは別のものです。再標本を増やしても、後者は解消できません。
よくある質問
- ブートストラップ信頼区間とは何ですか？
- 統計量の区間を、手元のデータを復元抽出で再標本化し、そのたびに統計量を計算し直して、結果の分布から求めたものです。95%のパーセンタイル区間では、再標本化した統計量の2.5パーセンタイルと97.5パーセンタイルを取ります。
- パーセンタイル法とBCa法のどちらを使うべきですか？
- BCa法が標準として適しています。再標本化した分布の偏りと歪みを補正するため、理論上も実際上も精度が高いからです。説明を最も単純にしたい場合、標本が非常に小さい場合、またはすべての再標本が推定値の片側に入ってBCa法を計算できない場合は、パーセンタイル法を使ってください。
- ブートストラップの再標本は何回必要ですか？
- 信頼区間には少なくとも1,000回、安定したBCa区間には5,000〜10,000回が目安です。再標本を増やすと区間の端点のゆらぎは減りますが、標本が小さいことで情報が不足している場合には、どれだけ増やしても意味のある結果にはなりません。
- 乱数シードは何のためにありますか？
- ブートストラップは乱数を使うため、通常は2回の実行で区間がわずかに異なります。シードは乱数の列を固定するため、実行を完全に再現できます。他の人が区間を再現できるように、シード、再標本数、手法を報告してください。
- R、SPSS、Stataと完全に一致しますか？
- 手法は一致します。パーセンタイル法とBCa法はRのboot.ciに従い、同じ再標本を使えば同じ区間になります。ただし、各ソフトウェアは独自の乱数生成器を使うため、区間はモンテカルロ誤差の範囲で一致し、最後の桁まで同じにはなりません。数千回の再標本では、通常、差は小数第2位に現れます。
- ブートストラップを使うべきではないのはどのような場合ですか？
- 非常に小さい標本（およそ10〜15個未満）では、標本が母集団を代表していないおそれがあります。最小値や最大値のように極端な値に左右される統計量、時系列のような従属データ（ブロックブートストラップを使う場合を除く）、標本自体に偏りがある場合も不向きです。再標本化は偏りをそのまま再現してしまうためです。