ज्यामितीय बंटन कैलकुलेटर

परिणाम

ज्यामितीय बंटन कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. चुनें कि आप क्या गिन रहे हैं। पहली सफलता तक और उसे शामिल करते हुए परीक्षण (X = 1, 2, 3, …) या पहली सफलता से पहले की असफलताएँ (Y = 0, 1, 2, …)। परिचयात्मक पाठ्यक्रम अधिकतर पहला उपयोग करते हैं; R, और कुछ सांख्यिकी पुस्तकें, दूसरा।
2. 2. p दर्ज करें। हर स्वतंत्र परीक्षण पर सफलता की संभावना, जैसे पाँच में से एक मौके के लिए 0.2।
3. 3. k दर्ज करें। वह परीक्षण जिस पर आप पहली सफलता चाहते हैं (या असफलताओं की संख्या), और चाहें तो सीमा के लिए ऊपरी सिरा।
4. 4. परिणाम पढ़ें। बराबर, अधिकतम, से कम, कम से कम और से अधिक, भरे हुए सूत्र के साथ, माध्य, प्रसरण और माध्यिका, समतुल्य R कॉल, और एक तालिका और बार चार्ट।

ज्यामितीय बंटन की दो परिभाषाएँ

ज्यामितीय बंटन उन स्वतंत्र परीक्षणों का वर्णन करता है जो दोहराए जाते हैं, जिनमें से हर एक की सफलता की संभावना p एक ही है, पहली सफलता तक। पाठ्यपुस्तकें परिणाम को दो अलग तरीकों से गिनती हैं, और एक ही प्रयोग के लिए दोनों अलग सूत्र, अलग माध्य और अलग सॉफ़्टवेयर कॉल देते हैं।

इनके बीच जाने के लिए याद रखें X = Y + 1। परीक्षण 5 पर पहली सफलता का अर्थ है 4 असफलताएँ, इसलिए P(X = 5) = P(Y = 4) है और माध्य ठीक 1 से अलग है; प्रसरण समान है। कैलकुलेटर आपकी संख्याओं के साथ यह रूपांतरण दिखाता है, जिसमें वह R फ़ंक्शन कॉल भी शामिल है जो वही संभावना देता है: R का dgeom(4, 0.2) उत्तर देता है "परीक्षण 5 पर पहली सफलता"।

हल किया गया उदाहरण: बिक्री कॉल

एक कॉलर 20% कॉल पर बिक्री बंद करता है, स्वतंत्र रूप से, इसलिए p = 0.2। परीक्षण गिनने पर, पाँचवीं कॉल पर पहली बिक्री होने की संभावना 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819 है। पाँचवीं कॉल तक होने की संभावना 1 − 0.8⁵ = 0.6723 है, पाँचवीं या उसके बाद 0.8⁴ = 0.4096, और पाँचवीं के बाद 0.8⁵ = 0.3277।

माध्य 1/p = 5 कॉल है और प्रसरण 0.8 / 0.2² = 20 है, इसलिए मानक विचलन 4.4721 है — माध्य की तुलना में बड़ा, जो सामान्य है: दुर्लभ सफलताओं के प्रतीक्षा समय बहुत अलग-अलग होते हैं। माध्यिका 4 है: आधे कॉलर अपनी पहली बिक्री चार कॉल के भीतर बंद करते हैं। असफलताएँ गिनने पर माध्य 4 है, और R का dgeom(4, 0.2) वही 0.0819 लौटाता है।

स्मृतिहीन बंटन

लगातार पाँच असफलताओं के बाद भी अगले परीक्षण पर सफलता की संभावना p ही रहती है। ज्यामितीय बंटन असतत स्मृतिहीन बंटन है, जो सतत घातीय बंटन का समकक्ष है: पिछली असफलताएँ सफलता को "बकाया" नहीं बनातीं, यही वह बात है जिसे जुआरी की भ्रांति नहीं समझती।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मुझे ज्यामितीय बंटन की कौन-सी परिभाषा उपयोग करनी चाहिए?

वही जो आपकी पाठ्यपुस्तक, शिक्षक या सॉफ़्टवेयर उपयोग करता है। परीक्षण गिने जाएँ तो X 1 से शुरू होता है और माध्य 1/p होता है; असफलताएँ गिनी जाएँ तो Y 0 से शुरू होता है और माध्य (1 − p)/p होता है। गलत परिपाटी में परीक्षा का उत्तर एक से गलत होता है, इसलिए जाँचें कि प्रश्न कौन-सी परिभाषित करता है।

पहली सफलता परीक्षण k पर होने की संभावना कैसे निकालूँ?

k − 1 असफलताओं और एक सफलता को गुणा करें: (1 − p)^k−1 × p। p = 0.2 और k = 5 के लिए यह 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819 है। परीक्षण k तक सफलता की संभावना k सीधी असफलताओं का पूरक है, 1 − (1 − p)^k।

परीक्षणों की संख्या के लिए R का dgeom कैसे उपयोग करूँ?

R का dgeom(x, prob) पहली सफलता से पहले की असफलताएँ गिनता है, इसलिए परीक्षण संख्या में से 1 घटाएँ: पहली सफलता परीक्षण 5 पर होने की संभावना dgeom(4, 0.2) = 0.0819 है, और pgeom(4, 0.2) = 0.6723 परीक्षण 5 तक आने की संभावना है। कैलकुलेटर आपके इनपुट के लिए ये कॉल दिखाता है।

पहली सफलता तक परीक्षणों की अपेक्षित संख्या क्या है?

परीक्षण गिनने पर 1/p। यदि हर प्रयास 0.2 संभावना से सफल होता है, तो औसतन 5 प्रयासों की अपेक्षा है। असफलताएँ गिनने पर माध्य (1 − p)/p = 4 है, एक कम, क्योंकि सफल परीक्षण स्वयं नहीं गिना जाता।

ज्यामितीय बंटन द्विपद और ऋणात्मक द्विपद से कैसे जुड़ा है?

द्विपद परीक्षणों की संख्या तय करता है और सफलताएँ गिनता है। ज्यामितीय सफलताओं की संख्या एक तय करता है और परीक्षण गिनता है। ऋणात्मक द्विपद इसे r-वीं सफलता तक सामान्यीकृत करता है, और ज्यामितीय उसकी विशेष स्थिति r = 1 है।

क्या ज्यामितीय बंटन स्वतंत्र परीक्षण मानता है?

हाँ, और एक स्थिर p। बिना प्रतिस्थापन के ताश खींचना, या अभ्यास से सुधरने वाला खिलाड़ी, इन धारणाओं को तोड़ते हैं। छोटी आबादी से बिना प्रतिस्थापन के नमूने के लिए इसके बजाय अतिज्यामितीय बंटन चाहिए।