如何比较两个相关系数?

如果它们来自不同群体的人,请分别转换为 Fisher z,然后用两者之差除以 √(1 ÷ (n₁ − 3) + 1 ÷ (n₂ − 3)),再与标准正态分布比较。如果它们来自同一批人并共享一个变量,请使用相依相关检验,例如 Steiger 检验,它还需要第三个相关系数。

独立相关与相依相关有什么区别?

独立相关来自彼此独立的样本,因此它们的误差互不相关。相依相关是在同一批参与者身上测得的,因此在统计上相互关联。重叠的情形——一个变量与另外两个变量相关——是最常见的情形,忽略这种相依性会得到错误的 p 值。

如何计算相关系数的置信区间?

将 r 变换为 z = atanh(r),加减临界值乘以 1 ÷ √(n − 3),再用 tanh 变换回来。本计算器正是这样计算的,这也是 R 的 cor.test 所报告的区间。该区间并不以 r 为中心对称,并且会随 n 增大而变窄。

为什么是 n − 3 而不是 n − 2?

相关系数的 t 检验使用 n − 2 个自由度,因为要估计两个参数。Fisher z 的方差是近似值,为 1 ÷ (n − 3),它源于变换后系数的大样本性质。两者是不同的结果,并不矛盾。

应该使用哪种相依相关检验?

Steiger's Z 和 Williams's t 都能很好地控制错误率;选择哪一种通常不会改变结论,本计算器两者都会给出。小样本时优先使用 Williams's t。Hotelling's t 仅为完整起见而列出,其在小样本中的错误率偏高是有充分文献记载的。

我能否改用回归来检验各组的相关系数是否不同?

可以。先将两个变量标准化,然后在合并数据上检验组别与预测变量的交互作用。结果与独立组的 Fisher z 检验相近,并且可以扩展到协变量和两组以上的情形,但需要原始数据,而不是汇总统计量。

相关系数比较计算器

基于相关系数的汇总数值进行计算——无需原始数据。可以计算单个 r 的置信区间;检验来自不同样本的两个相关系数是否存在差异(Fisher z,并给出差值的置信区间);比较同一批人测得的两个相依相关系数(Steiger's Z、Williams's t、Hotelling's t);或合并多项研究。免费,无需注册。

您想做什么?

单个 r 的置信区间比较两个独立相关系数比较两个相依相关系数比较多个相关系数(合并 r)

样本相关系数 r

样本量 n

假设的 ρ(可选)

置信水平

备择假设

请输入有效的值:每个 r 必须严格介于 −1 与 1 之间,每个 n 必须大于 3。

如何使用相关系数比较计算器

1. 选择要解决的问题。 单个 r 的置信区间;比较来自不同群体的两个相关系数(独立);比较同一批人测得的、共享一个变量的两个相关系数(相依);或需要合并的多项研究。
2. 输入相关系数和样本量。 每个 r 必须严格介于 −1 与 1 之间,每个 n 必须大于 3。对于相依相关,还需要两个非共享变量之间的相关系数。
3. 设定置信水平和检验方向。 默认为 95% 置信区间和双侧检验。只有在事先确定了方向的情况下,才选择单侧检验。
4. 阅读结果和计算过程。 可直接复制的 APA 格式结果行已经生成,并附有使用您的数字展示的计算步骤。

应该使用哪种检验

您的情况	使用	方法
一个样本,想得到 r 的误差范围	单个 r 的区间	Fisher z
来自 A 组的 r 与来自 B 组的 r(不同的人)	两个独立相关系数	Fisher z 检验;差值的 Zou 区间
同一样本中,X 对 Y 的预测能力与 W 对 Y 的预测能力相比	两个相依、重叠的相关系数	Steiger's Z(也可用 Williams's t、Hotelling's t)
同一关系的多项研究	多个相关系数	异质性 Q 检验;合并 r

为什么使用 Fisher z?

只要真实的相关系数不为零,r 的抽样分布就是偏斜的,并且其离散程度取决于这个未知值。Fisher 变换 z = atanh(r) = ½ ln((1 + r) ÷ (1 − r)) 同时解决了这两个问题:无论 ρ 为何值,z 都近似服从正态分布,其标准误为 1 ÷ √(n − 3)。因此我们在 z 尺度上构造区间,再用 tanh 变换回来,这样区间会保持在 −1 到 1 之间,并且相对于 r 呈不对称分布,这正是它应有的特性。

区间

tanh(atanh r ± z* ÷ √(n − 3))

两个独立的 r

z = (atanh r₁ − atanh r₂) ÷ √(1 ÷ (n₁ − 3) + 1 ÷ (n₂ − 3))

示例

单个 r。 来自 40 个病例的 r = .45 给出 95% 置信区间为 0.1611 至 0.6679——区间较宽,这对 40 个病例而言总是如此。相对于 ρ₀ = .2 检验,z = 1.7151,p = .0863:与 .2 无法区分。
独立。 在 85 名较年轻学生中,阅读与数学的相关为 .62;在 110 名较年长学生中为 .38:z = 2.2140,p = .0268。差值 .24 的 95% 区间(Zou 方法)为 0.0273 至 0.4478——差异显著,但真实的差距可能很小。
相依。 在一个 100 人的样本中,预测变量 1 与结局变量的相关为 .55,预测变量 2 与结局变量的相关为 .35,两个预测变量彼此的相关为 .40。Steiger's Z = 2.1129,p = .0346;Williams's t(97) = 2.1448,p = .0345;Hotelling's t(97) = 2.1848,p = .0313。两个预测变量的差异显著,不过在 n = 100 时,真实差异仍可能不大。
多项研究。 四项研究——.30(n = 50)、.45(80)、.52(65)、.20(120):Q(3) = 7.0961,p = .0689,I² = 58%,合并 r = .3517,95% 置信区间为 0.2494 至 0.4462。这些研究提示可能存在异质性,但尚不足以下定论。

为什么相依相关需要单独的检验

当两个相关系数共享一个变量并且来自同一批人时,它们的抽样误差是相关的:如果 X 的表现异常强,那么 X 与 W 相关时,W 也往往表现得较强。若把它们当作独立的来处理,就忽略了这种协方差,检验结果可能过于保守或过于宽松,取决于 r_kh 的大小。Steiger's Z 是对 Dunn–Clark 检验的改进,它利用预测变量之间的相关来估计协方差。Williams's t 是经典的、基于 t 分布的替代方法,在小样本中表现良好;最古老的 Hotelling's t 则略微偏于宽松。本计算器同时报告这三种结果,方便您查看它们是否一致。它不涵盖不重叠的相依相关,后者需要四个变量之间的全部六个相关系数。

常见问题

如何比较两个相关系数?: 如果它们来自不同群体的人,请分别转换为 Fisher z,然后用两者之差除以 √(1 ÷ (n₁ − 3) + 1 ÷ (n₂ − 3)),再与标准正态分布比较。如果它们来自同一批人并共享一个变量,请使用相依相关检验,例如 Steiger 检验,它还需要第三个相关系数。
独立相关与相依相关有什么区别?: 独立相关来自彼此独立的样本,因此它们的误差互不相关。相依相关是在同一批参与者身上测得的,因此在统计上相互关联。重叠的情形——一个变量与另外两个变量相关——是最常见的情形,忽略这种相依性会得到错误的 p 值。
如何计算相关系数的置信区间?: 将 r 变换为 z = atanh(r),加减临界值乘以 1 ÷ √(n − 3),再用 tanh 变换回来。本计算器正是这样计算的,这也是 R 的 cor.test 所报告的区间。该区间并不以 r 为中心对称,并且会随 n 增大而变窄。
为什么是 n − 3 而不是 n − 2?: 相关系数的 t 检验使用 n − 2 个自由度,因为要估计两个参数。Fisher z 的方差是近似值,为 1 ÷ (n − 3),它源于变换后系数的大样本性质。两者是不同的结果,并不矛盾。
应该使用哪种相依相关检验?: Steiger's Z 和 Williams's t 都能很好地控制错误率;选择哪一种通常不会改变结论,本计算器两者都会给出。小样本时优先使用 Williams's t。Hotelling's t 仅为完整起见而列出,其在小样本中的错误率偏高是有充分文献记载的。
我能否改用回归来检验各组的相关系数是否不同?: 可以。先将两个变量标准化,然后在合并数据上检验组别与预测变量的交互作用。结果与独立组的 Fisher z 检验相近,并且可以扩展到协变量和两组以上的情形,但需要原始数据,而不是汇总统计量。