分组数据计算器

如何使用分组数据计算器

1. 1. 输入各组。 每行一组:下限、上限和频数,之间用逗号、冒号或空格分隔。上下限之间可以用连字符、半长破折号或“to”,因此“10-20, 5”、“10 – 20: 5”和“10 to 20 5”会被以同样的方式读取。
2. 2. 选择如何处理组界。 如果各组相接(0–10、10–20),则按原样使用。如果各组之间留有间隔(10–19、20–29),计算器默认会把每个边界向外移动间隔的一半(变为 9.5–19.5),这也是教科书在计算中位数时的做法。您可以关闭此功能。
3. 3. 阅读统计量。 卡片显示平均数、中位数、众数和样本标准差;表格还列出四分位数,以及总体版本的结果。
4. 4. 跟随计算过程。 每个公式都会用您的数值写出,便于您与笔记核对,或直接照搬该方法。

分组数据的公式

分组表会丢失各个原始数值,因此每一组都以其组中值 x 表示,并把组内每个值都当作等于 x 来处理。设频数为 f,总频数为 n = Σf:

中位数所在组是累计频数首次达到 n ÷ 2 的那一组。公式把中位数按比例置于该组之内,这与在累计频数多边形(ogive)上读取结果是一致的。众数组是频数最高的那一组;众数会向较高的相邻组偏移。

组限与组界

组限是某一组按记录所能容纳的最小值与最大值:例如以整岁记录年龄时的 10–19 与 20–29。19 与 20 之间有一段间隔,因此测得的 19.6 不属于任何一组。组界通过把间隔一分为二来消除缝隙:9.5–19.5 与 19.5–29.5。中位数、四分位数和众数的公式使用组界,因为它们是在连续的标尺上做插值。两种情况下组中值都相同,因此平均数和标准差不会改变。

示例

点击“试用示例”即可载入一组满分 50 分的成绩:0–10(3 名学生)、10–20(7)、20–30(12)、30–40(14)和 40–50(9),因此 n = 45,组中值分别为 5、15、25、35 和 45。

• 平均数: Σfx = 15 + 105 + 300 + 490 + 405 = 1,315,因此 x̄ = 1,315 ÷ 45 = 29.2222。
• 方差与标准差: Σfx² = 44,525,因此 s² = (44,525 − 1,315² ÷ 45) ÷ 44 = 138.5859,s = 11.7722。若改为除以 n,总体方差为 135.5062,标准差为 11.6407。
• 中位数: n ÷ 2 = 22.5。累计频数依次为 3、10、22、36、45,因此中位数所在组为 30–40,CF = 22,f = 14。中位数 = 30 + ((22.5 − 22) ÷ 14) × 10 = 30.3571。
• 四分位数: Q1 位于 11.25,处于 20–30 组中:20 + ((11.25 − 10) ÷ 12) × 10 = 21.0417。Q3 位于 33.75,处于 30–40 组中:30 + ((33.75 − 22) ÷ 14) × 10 = 38.3929。
• 众数: 众数组为 30–40(f₁ = 14),相邻两组的频数为 12 和 9。Δ1 = 2,Δ2 = 5,因此众数 = 30 + (2 ÷ 7) × 10 = 32.8571。

平均数(29.2)低于中位数(30.4),中位数又低于众数(32.9)——对于低分一侧拖着长尾的数据,这正是人们所预期的顺序。

分组统计量有多准确?

它们都是估计值。只有当每个组内的值均匀分布时,用组中值代替每个值才是精确的,因此分组平均数通常接近真实平均数,而分组中位数和众数则是插值结果,而非观测值。对于连续数据,方差往往略微偏大;当各组等宽且组宽相对于离散程度较小时,可以用 Sheppard 修正减去 w² ÷ 12(w 为组宽)。如果您手头有原始数据,请改用统计计算器;只有在手头仅有一张表格时,才使用本工具。

常见问题

如何求分组数据的平均数?

求出每组的组中值,将其与该组频数相乘,把所有乘积相加,再除以总频数:x̄ = Σfx ÷ n。对于组 0–10、10–20 等,频数分别为 3、7、12、14 和 9,乘积之和为 1,315,平均数为 1,315 ÷ 45 = 29.2222。

如何求分组数据的中位数?

先算出 n ÷ 2,找出累计频数首次达到它的那一组(中位数所在组),然后应用 L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w,其中 L 为该组的下界,CF 为其之前的累计频数,f 为该组频数,w 为组宽。结果位于中位数所在组之内。

如何求分组数据的众数?

选出频数最高的那一组(众数组),使用 L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w,其中 Δ1 为该组频数减去前一组频数,Δ2 为该组频数减去后一组频数,w 为其组宽。若两组并列,计算器会分别给出每一组的众数。

如何由频数表计算标准差?

先求平均数,然后计算 s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1),再开平方。若为总体,则用 n 代替 n − 1。计算器会同时显示两者,方便您对照课程所要求的版本。

组限与组界有什么区别?

组限是某一组记录下来的端点(10–19、20–29)。组界是间隔中点处的数值(9.5、19.5、29.5),它们使各组连续起来。中位数、四分位数和众数的公式使用组界;组中值、平均数和标准差则不受影响。

为什么我的分组平均数与原始数据的平均数不同?

分组会丢失信息。每个组内的值都被当作位于组中值处,因此分组平均数只是一个近似值。所用组数越多,且各组内的数值分布越均匀,它就越接近真实值。

各组的组宽可以不同吗?

可以。平均数、方差、中位数和四分位数都适用于任意组宽。对于众数,计算器比较的是频数密度(频数 ÷ 组宽),而非原始频数,因为宽的组自然会收集到更多的值。计算器这样做时会显示说明。