Калькулятор сгруппированных данных
Введите классы и частоты — по одному в строке, например «10-20, 5», — и получите среднее, медиану, моду, квартили, дисперсию и стандартное отклонение сгруппированных данных вместе с таблицей частот, формулами интерполяции, подставленными вашими числами, и гистограммой. Бесплатно, без регистрации; ничего не покидает вашего браузера.
0 классов считано
Введите хотя бы один класс с частотой — например «10-20, 5», — чтобы увидеть среднее, медиану, моду и стандартное отклонение.
Как пользоваться калькулятором сгруппированных данных
- 1. Введите классы. По одному классу в строке: нижний предел, верхний предел и частота, разделённые запятой, двоеточием или пробелом. Между пределами работает дефис, тире или слово «to»: «10-20, 5», «10 – 20: 5» и «10 to 20 5» читаются одинаково.
- 2. Выберите, как трактовать границы. Если ваши классы соприкасаются (0–10, 10–20), они используются как записаны. Если между ними есть промежуток (10–19, 20–29), калькулятор по умолчанию сдвигает каждую границу наружу на половину промежутка (9,5–19,5), как это делают учебники для медианы. Эту опцию можно отключить.
- 3. Прочитайте статистики. Карточки показывают среднее, медиану, моду и выборочное стандартное отклонение; таблица содержит квартили, а также генеральные варианты.
- 4. Следуйте расчёту. Каждая формула выписана с вашими числами, так что её можно сверить с конспектом или перенять метод.
Формулы для сгруппированных данных
Сгруппированная таблица не сохраняет отдельные значения, поэтому каждый класс представлен своей серединой x, а каждое значение внутри него считается равным x. При частоте f и общей частоте n = Σf:
| Статистика | Формула | Примечания |
|---|---|---|
| Среднее | x̄ = Σfx ÷ n | Каждая середина взвешена своей частотой |
| Выборочная дисперсия | s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1) | Для генеральной совокупности делите на n |
| Медиана | L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w | L — нижняя граница медианного класса, CF — накопленная частота перед ним, w — ширина класса |
| Квартили Q1, Q3 | L + ((n ÷ 4 − CF) ÷ f) × w, а для Q3 — 3n ÷ 4 | Та же идея на отметках 25% и 75% |
| Мода | L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w | Δ1 = f₁ − f₀, Δ2 = f₁ − f₂; f₁ — частота модального класса, f₀ и f₂ — частоты его соседей |
Медианный класс — это первый класс, накопленная частота которого достигает n ÷ 2. Формула помещает медиану пропорционально внутри этого класса, что совпадает со считыванием по кумуляте (огиве). Модальный класс — тот, у которого наибольшая частота; мода смещается в сторону более высокого соседа.
Пределы классов и границы классов
Пределы класса — это наименьшее и наибольшее значения, которые класс может содержать в записанном виде: 10–19 и 20–29 для возрастов в целых годах. Между 19 и 20 есть промежуток, поэтому измеренное значение 19,6 не попадает никуда. Границы классов закрывают промежуток, разделяя его: 9,5–19,5 и 19,5–29,5. Формулы медианы, квартилей и моды используют границы, потому что интерполируют по непрерывной шкале. Середина при этом одинакова, поэтому среднее и стандартное отклонение не меняются.
Рабочий пример
Нажмите «Попробовать пример», чтобы загрузить пять классов оценок из 50 — 0–10 (3 ученика), 10–20 (7), 20–30 (12), 30–40 (14) и 40–50 (9): n = 45, а середины равны 5, 15, 25, 35 и 45.
- Среднее: Σfx = 15 + 105 + 300 + 490 + 405 = 1 315, поэтому x̄ = 1 315 ÷ 45 = 29,2222.
- Дисперсия и SD: Σfx² = 44 525, поэтому s² = (44 525 − 1 315² ÷ 45) ÷ 44 = 138,5859 и s = 11,7722. Если делить на n, генеральная дисперсия равна 135,5062, а SD — 11,6407.
- Медиана: n ÷ 2 = 22,5. Накопленные частоты: 3, 10, 22, 36, 45, поэтому медианный класс — 30–40, с CF = 22 и f = 14. Медиана = 30 + ((22,5 − 22) ÷ 14) × 10 = 30,3571.
- Квартили: Q1 приходится на 11,25, то есть в класс 20–30: 20 + ((11,25 − 10) ÷ 12) × 10 = 21,0417. Q3 приходится на 33,75, то есть в класс 30–40: 30 + ((33,75 − 22) ÷ 14) × 10 = 38,3929.
- Мода: модальный класс — 30–40 (f₁ = 14), соседи — 12 и 9. Δ1 = 2 и Δ2 = 5, поэтому мода = 30 + (2 ÷ 7) × 10 = 32,8571.
Среднее (29,2) меньше медианы (30,4), а медиана меньше моды (32,9) — именно такой порядок ожидается для данных с более длинным хвостом в сторону низких оценок.
Насколько точны статистики по сгруппированным данным?
Это оценки. Замена каждого значения серединой его класса точна, только если значения равномерно распределены внутри класса, поэтому среднее по группам обычно близко к истинному, а медиана и мода по группам — это интерполяции, а не наблюдаемые значения. Для непрерывных данных дисперсия обычно слегка завышена; поправка Шеппарда вычитает w² ÷ 12 (w — ширина класса), когда классы равны и узки относительно разброса. Если у вас есть исходные данные, используйте Калькулятор статистики; этот инструмент нужен, когда у вас есть только таблица.
Часто задаваемые вопросы
- Как найти среднее сгруппированных данных?
- Найдите середину каждого класса, умножьте её на частоту класса, сложите эти произведения и разделите на общую частоту: x̄ = Σfx ÷ n. Для классов 0–10, 10–20 и так далее с частотами 3, 7, 12, 14 и 9 произведения в сумме дают 1 315, а среднее равно 1 315 ÷ 45 = 29,2222.
- Как найти медиану сгруппированных данных?
- Вычислите n ÷ 2, найдите первый класс, накопленная частота которого достигает этого значения (медианный класс), и примените L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w, где L — нижняя граница этого класса, CF — накопленная частота перед ним, f — его частота, а w — его ширина. Результат лежит где-то внутри медианного класса.
- Как найти моду сгруппированных данных?
- Выберите класс с наибольшей частотой (модальный класс) и используйте L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w, где Δ1 — его частота минус частота предыдущего класса, Δ2 — его частота минус частота следующего, а w — его ширина. Если два класса совпадают, калькулятор выводит моду для каждого из них.
- Как вычислить стандартное отклонение по таблице частот?
- Вычислите среднее, затем s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1) и извлеките квадратный корень. Для генеральной совокупности используйте n вместо n − 1. Калькулятор показывает оба варианта, чтобы вы могли выбрать тот, который требует ваш курс.
- В чём разница между пределами и границами классов?
- Пределы — это записанные конечные точки класса (10–19, 20–29). Границы — точки посередине промежутков (9,5, 19,5, 29,5), которые делают классы непрерывными. Формулы медианы, квартилей и моды используют границы; середина, среднее и стандартное отклонение от этого не меняются.
- Почему среднее по группам отличается от среднего по исходным данным?
- Группировка теряет информацию. Каждое значение внутри класса считается находящимся в середине, поэтому среднее по группам лишь приближённое. Чем больше классов вы используете и чем равномернее значения распределены внутри каждого из них, тем ближе оно будет к точному.
- Могут ли классы иметь разную ширину?
- Да. Среднее, дисперсия, медиана и квартили работают с любой шириной. Для моды калькулятор сравнивает плотность частоты (частота ÷ ширина), а не сырую частоту, потому что широкий класс естественно собирает больше значений. В этом случае он показывает примечание.