Kalkulator danych pogrupowanych
Wpisz klasy i liczebności — po jednej w wierszu, np. „10-20, 5” — a otrzymasz średnią, medianę, dominantę, kwartyle, wariancję i odchylenie standardowe danych pogrupowanych, z tabelą liczebności, wzorami interpolacji obliczonymi na Twoich liczbach oraz histogramem. Za darmo, bez rejestracji; nic nie opuszcza przeglądarki.
0 odczytanych klas
Wpisz co najmniej jedną klasę z liczebnością — na przykład „10-20, 5” — aby zobaczyć średnią, medianę, dominantę i odchylenie standardowe.
Jak korzystać z kalkulatora danych pogrupowanych
- 1. Wpisz klasy. Jedna klasa w wierszu: dolna granica, górna granica i liczebność, oddzielone przecinkiem, dwukropkiem lub spacją. Między granicami działa myślnik, półpauza albo słowo „to”, więc „10-20, 5”, „10 – 20: 5” i „10 to 20 5” są odczytywane tak samo.
- 2. Wybierz sposób traktowania granic. Jeśli klasy stykają się (0–10, 10–20), są używane dokładnie tak, jak zapisano. Jeśli zostawiają przerwę (10–19, 20–29), kalkulator domyślnie przesuwa każdą granicę o połowę przerwy na zewnątrz (9,5–19,5), tak jak robią podręczniki przy medianie. Możesz to wyłączyć.
- 3. Odczytaj statystyki. Karty pokazują średnią, medianę, dominantę i odchylenie standardowe z próby; tabela podaje kwartyle, a także wersje dla populacji.
- 4. Prześledź obliczenia. Każdy wzór jest zapisany z Twoimi liczbami, więc możesz sprawdzić go z notatkami albo skopiować metodę.
Wzory dla danych pogrupowanych
Tabela pogrupowana rezygnuje z pojedynczych wartości, więc każda klasa jest reprezentowana przez swój środek x, a każda wartość w niej traktowana jest tak, jakby była równa x. Przy liczebności f i łącznej liczebności n = Σf:
| Statystyka | Wzór | Uwagi |
|---|---|---|
| Średnia | x̄ = Σfx ÷ n | Każdy środek ważony swoją liczebnością |
| Wariancja z próby | s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1) | Dla populacji dziel przez n zamiast przez n − 1 |
| Mediana | L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w | L = dolna granica klasy mediany, CF = liczebność skumulowana przed nią, w = szerokość klasy |
| Kwartyl Q1, Q3 | L + ((n ÷ 4 − CF) ÷ f) × w, a dla Q3 wzór z 3n ÷ 4 | Ta sama idea przy 25% i 75% |
| Dominanta | L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w | Δ1 = f₁ − f₀, Δ2 = f₁ − f₂; f₁ to liczebność klasy modalnej, f₀ i f₂ to jej sąsiedzi |
Klasa mediany to pierwsza klasa, której liczebność skumulowana osiąga n ÷ 2. Wzór umieszcza medianę proporcjonalnie wewnątrz tej klasy, co jest tym samym, co odczytanie jej z wielokąta liczebności skumulowanej (ogiwy). Klasa modalna to ta o najwyższej liczebności; dominanta jest przesunięta w stronę tego sąsiada, który jest wyższy.
Granice klas a granice rzeczywiste
Granice klas to najmniejsza i największa wartość, jaką klasa może zawierać w zapisie: 10–19 i 20–29 dla wieku w pełnych latach. Między 19 a 20 jest przerwa, więc zmierzona wartość 19,6 nie należy nigdzie. Granice rzeczywiste zamykają przerwę, dzieląc ją: 9,5–19,5 i 19,5–29,5. Wzory na medianę, kwartyle i dominantę używają granic rzeczywistych, ponieważ interpolują po ciągłej skali. Środek jest taki sam w obu przypadkach, więc średnia i odchylenie standardowe się nie zmieniają.
Przykład krok po kroku
Kliknij „Wypróbuj przykład”, aby załadować pięć klas ocen z 50 punktów — 0–10 (3 uczniów), 10–20 (7), 20–30 (12), 30–40 (14) i 40–50 (9) — więc n = 45, a środki to 5, 15, 25, 35 i 45.
- Średnia: Σfx = 15 + 105 + 300 + 490 + 405 = 1 315, więc x̄ = 1 315 ÷ 45 = 29,2222.
- Wariancja i odchylenie: Σfx² = 44 525, więc s² = (44 525 − 1 315² ÷ 45) ÷ 44 = 138,5859, a s = 11,7722. Dzieląc przez n, wariancja populacji wynosi 135,5062, a odchylenie standardowe 11,6407.
- Mediana: n ÷ 2 = 22,5. Liczebności skumulowane to 3, 10, 22, 36, 45, więc klasa mediany to 30–40, z CF = 22 i f = 14. Mediana = 30 + ((22,5 − 22) ÷ 14) × 10 = 30,3571.
- Kwartyle: Q1 przypada na 11,25, w klasie 20–30: 20 + ((11,25 − 10) ÷ 12) × 10 = 21,0417. Q3 przypada na 33,75, w klasie 30–40: 30 + ((33,75 − 22) ÷ 14) × 10 = 38,3929.
- Dominanta: klasa modalna to 30–40 (f₁ = 14), z sąsiadami 12 i 9. Δ1 = 2 i Δ2 = 5, więc dominanta = 30 + (2 ÷ 7) × 10 = 32,8571.
Średnia (29,2) jest niższa od mediany (30,4), która jest niższa od dominanty (32,9) — kolejność, jakiej się spodziewasz przy danych z dłuższym ogonem w stronę niskich ocen.
Jak dokładne są statystyki z danych pogrupowanych?
To są oszacowania. Zastąpienie każdej wartości środkiem jej klasy jest dokładne tylko wtedy, gdy wartości są równomiernie rozłożone wewnątrz każdej klasy, więc średnia z danych pogrupowanych zwykle wypada blisko prawdziwej średniej, a mediana i dominanta z danych pogrupowanych są interpolacjami, a nie zaobserwowanymi wartościami. Dla danych ciągłych wariancja bywa nieco zawyżona; poprawka Shepparda odejmuje w² ÷ 12 (w to szerokość klasy), gdy klasy są równe i wąskie w stosunku do rozrzutu. Gdy masz jeszcze surowe dane, użyj Kalkulatora statystycznego; to narzędzie stosuj wtedy, gdy masz tylko tabelę.
Najczęstsze pytania
- Jak znaleźć średnią danych pogrupowanych?
- Wyznacz środek każdej klasy, pomnóż go przez liczebność klasy, zsumuj te iloczyny i podziel przez łączną liczebność: x̄ = Σfx ÷ n. Dla klas 0–10, 10–20 i tak dalej z liczebnościami 3, 7, 12, 14 i 9 iloczyny sumują się do 1 315, a średnia wynosi 1 315 ÷ 45 = 29,2222.
- Jak znaleźć medianę danych pogrupowanych?
- Oblicz n ÷ 2, znajdź pierwszą klasę, której liczebność skumulowana do niego dochodzi (klasę mediany), a następnie zastosuj L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w, gdzie L to dolna granica tej klasy, CF to liczebność skumulowana przed nią, f jej liczebność, a w jej szerokość. Wynik leży wewnątrz klasy mediany.
- Jak znaleźć dominantę danych pogrupowanych?
- Wybierz klasę o najwyższej liczebności (klasę modalną) i użyj L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w, gdzie Δ1 to jej liczebność minus liczebność poprzedniej klasy, Δ2 to jej liczebność minus liczebność następnej, a w to szerokość. Jeśli dwie klasy mają tyle samo, kalkulator podaje dominantę dla każdej z nich.
- Jak obliczyć odchylenie standardowe z tabeli liczebności?
- Oblicz średnią, następnie s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1) i wyciągnij pierwiastek. Dla populacji użyj n zamiast n − 1. Kalkulator pokazuje oba wyniki, abyś mógł dopasować ten, którego wymaga Twój kurs.
- Jaka jest różnica między granicami klas a granicami rzeczywistymi?
- Granice to zapisane końce klasy (10–19, 20–29). Granice rzeczywiste to punkty w połowie przerw (9,5, 19,5, 29,5), które sprawiają, że klasy są ciągłe. Wzory na medianę, kwartyle i dominantę używają granic rzeczywistych; środek, średnia i odchylenie standardowe nie zmieniają się.
- Dlaczego moja średnia z danych pogrupowanych różni się od średniej z surowych danych?
- Grupowanie traci informację. Każda wartość w klasie jest traktowana tak, jakby leżała w środku klasy, więc średnia z danych pogrupowanych jest tylko przybliżeniem. Im więcej klas i im równomierniej wartości są rozłożone w każdej z nich, tym bliżej jest ona prawdziwej średniej.
- Czy klasy mogą mieć różne szerokości?
- Tak. Średnia, wariancja, mediana i kwartyle działają przy dowolnych szerokościach. Dla dominanty kalkulator porównuje gęstość liczebności (liczebność ÷ szerokość), a nie surową liczebność, ponieważ szeroka klasa naturalnie zbiera więcej wartości. Gdy tak robi, pokazuje o tym uwagę.