계급 자료 계산기

계급 자료 계산기 사용 방법

1. 1. 계급을 입력하세요. 한 줄에 계급 하나씩, 하한, 상한, 도수를 쉼표, 콜론 또는 공백으로 구분해 입력하세요. 두 한계 사이에는 하이픈, en 대시, 또는 단어 “to”를 쓸 수 있으므로, “10-20, 5”, “10 – 20: 5”, “10 to 20 5”는 모두 같은 방식으로 읽습니다.
2. 2. 경계를 어떻게 다룰지 고르세요. 계급이 맞닿아 있으면(0–10, 10–20) 적힌 그대로 사용합니다. 계급 사이에 틈이 있으면(10–19, 20–29) 기본값으로 계산기가 틈의 절반만큼 각 경계를 바깥으로 옮깁니다(9.5–19.5). 중앙값에 대해 교과서가 하는 방식이 이것입니다. 이 설정은 끌 수 있습니다.
3. 3. 통계량을 읽으세요. 카드에 평균, 중앙값, 최빈값, 표본 표준편차가 나옵니다. 표에는 사분위수와 모집단 버전도 나옵니다.
4. 4. 풀이를 따라가세요. 모든 공식을 입력한 숫자로 풀어 써 두었으므로, 자신의 노트와 대조하거나 그 방법을 그대로 옮길 수 있습니다.

계급 자료의 공식

도수분포표는 개별 값을 버리므로, 각 계급을 계급값 x(중점)로 대표하고 그 계급의 모든 값을 x와 같다고 봅니다. 도수를 f, 전체 도수를 n = Σf라고 하면 다음과 같습니다.

중앙값 계급은 누적 도수가 n ÷ 2에 처음 도달하는 계급입니다. 공식은 중앙값을 그 계급 안에서 비례적으로 놓으며, 이는 누적도수분포다각형(오자이브)에서 읽는 것과 같습니다. 최빈 계급은 도수가 가장 큰 계급이고, 최빈값은 더 높은 이웃 쪽으로 끌려갑니다.

계급 한계와 계급 경계

계급 한계는 기록된 상태에서 계급이 담을 수 있는 가장 작은 값과 가장 큰 값입니다. 나이를 정수 년으로 기록하면 10–19와 20–29가 됩니다. 19와 20 사이에는 틈이 있으므로, 측정값 19.6은 어디에도 속하지 않습니다. 계급 경계는 그 틈을 나누어 메웁니다. 9.5–19.5와 19.5–29.5가 됩니다. 중앙값, 사분위수, 최빈값 공식은 연속된 눈금 위에서 보간하므로 경계를 씁니다. 계급값은 어느 쪽이든 같으므로 평균과 표준편차는 달라지지 않습니다.

실제 예시

“Try an example”을 눌러 50점 만점 점수의 다섯 계급을 불러오세요. 0–10(3명), 10–20(7명), 20–30(12명), 30–40(14명), 40–50(9명)입니다. 따라서 n = 45이고 계급값은 5, 15, 25, 35, 45입니다.

• 평균: Σfx = 15 + 105 + 300 + 490 + 405 = 1,315이므로, x̄ = 1,315 ÷ 45 = 29.2222입니다.
• 분산과 표준편차: Σfx² = 44,525이므로, s² = (44,525 − 1,315² ÷ 45) ÷ 44 = 138.5859이고 s = 11.7722입니다. n으로 나누면 모집단 분산은 135.5062, 표준편차는 11.6407입니다.
• 중앙값: n ÷ 2 = 22.5입니다. 누적 도수는 3, 10, 22, 36, 45이므로 중앙값 계급은 30–40이고, CF = 22, f = 14입니다. 중앙값 = 30 + ((22.5 − 22) ÷ 14) × 10 = 30.3571입니다.
• 사분위수: Q1은 11.25 지점에 있으며 계급 20–30에 속합니다. 20 + ((11.25 − 10) ÷ 12) × 10 = 21.0417입니다. Q3은 33.75 지점에 있으며 30–40에 속합니다. 30 + ((33.75 − 22) ÷ 14) × 10 = 38.3929입니다.
• 최빈값: 최빈 계급은 30–40(f₁ = 14)이고, 이웃 계급의 도수는 12와 9입니다. Δ1 = 2, Δ2 = 5이므로 최빈값은 30 + (2 ÷ 7) × 10 = 32.8571입니다.

평균(29.2)은 중앙값(30.4)보다 작고, 중앙값은 최빈값(32.9)보다 작습니다. 낮은 점수 쪽으로 꼬리가 긴 자료에서 기대하는 순서입니다.

계급 자료 통계는 얼마나 정확한가

이것은 추정값입니다. 모든 값을 계급값으로 바꾸는 것은 각 계급 안에서 값이 고르게 퍼져 있을 때에만 정확합니다. 그래서 계급 자료의 평균은 대체로 참값에 가깝고, 중앙값과 최빈값은 관측된 값이 아니라 보간된 값입니다. 연속형 자료에서는 분산이 약간 과대평가되는 경향이 있으며, 계급 너비가 같고 퍼짐에 비해 좁을 때에는 셰퍼드 보정(Sheppard's correction)으로 w² ÷ 12를 뺍니다(w는 계급 너비). 원자료가 있다면 기술통계 계산기를 쓰고, 표만 있을 때 이 도구를 사용하세요.

자주 묻는 질문

계급 자료의 평균은 어떻게 구하나요?

각 계급의 계급값을 구하고, 그것에 계급의 도수를 곱한 뒤, 그 곱들을 모두 더하고 전체 도수로 나눕니다. x̄ = Σfx ÷ n. 계급 0–10, 10–20 등과 도수 3, 7, 12, 14, 9에서 곱들의 합은 1,315이고, 평균은 1,315 ÷ 45 = 29.2222입니다.

계급 자료의 중앙값은 어떻게 구하나요?

n ÷ 2를 구하고, 누적 도수가 그 값에 처음 도달하는 계급(중앙값 계급)을 찾은 다음 L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w를 적용합니다. 여기서 L은 그 계급의 하한 경계, CF는 그 앞의 누적 도수, f는 그 계급의 도수, w는 계급 너비입니다. 결과는 중앙값 계급 안의 어딘가에 놓입니다.

계급 자료의 최빈값은 어떻게 구하나요?

도수가 가장 큰 계급(최빈 계급)을 고르고 L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w를 사용합니다. 여기서 Δ1은 그 계급의 도수에서 앞 계급의 도수를 뺀 값, Δ2는 그 계급의 도수에서 뒤 계급의 도수를 뺀 값, w는 그 계급의 너비입니다. 두 계급의 도수가 같으면 계산기는 각각에 대한 최빈값을 보고합니다.

도수분포표에서 표준편차는 어떻게 구하나요?

평균을 구한 다음 s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1)을 계산하고 제곱근을 취합니다. 모집단이라면 n − 1 대신 n을 씁니다. 수업에서 요구하는 방식에 맞출 수 있도록 계산기는 두 값을 모두 보여 줍니다.

계급 한계와 계급 경계의 차이는 무엇인가요?

한계는 계급의 기록된 양 끝 값(10–19, 20–29)입니다. 경계는 틈의 가운데 지점(9.5, 19.5, 29.5)으로, 계급을 연속으로 만듭니다. 중앙값, 사분위수, 최빈값 공식은 경계를 쓰며, 계급값, 평균, 표준편차에는 영향이 없습니다.

계급 자료의 평균이 원자료의 평균과 다른 이유는 무엇인가요?

계급으로 묶으면 정보가 줄어듭니다. 계급 안의 모든 값이 계급값에 있는 것처럼 취급되므로, 계급 자료의 평균은 근사일 뿐입니다. 계급을 더 많이 쓰고 각 계급 안에서 값이 더 고르게 퍼져 있을수록 원자료의 평균에 가까워집니다.

계급의 너비가 서로 달라도 되나요?

네. 평균, 분산, 중앙값, 사분위수는 어떤 너비에서도 동작합니다. 최빈값에서는 계산기가 원래 도수 대신 도수밀도(도수 ÷ 너비)를 비교합니다. 너비가 넓은 계급은 자연히 더 많은 값을 모으기 때문입니다. 이렇게 할 때에는 메모가 표시됩니다.