समूहबद्ध आँकड़ा कैलकुलेटर

समूहबद्ध आँकड़ा कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. वर्ग दर्ज करें। हर पंक्ति में एक वर्ग: निचली सीमा, ऊपरी सीमा और आवृत्ति, जिन्हें अल्पविराम, कोलन या स्पेस से अलग किया गया हो। सीमाओं के बीच हाइफ़न, एन डैश या शब्द “to” चलता है, इसलिए “10-20, 5”, “10 – 20: 5” और “10 to 20 5” सभी एक ही तरह पढ़े जाते हैं।
2. 2. सीमाओं का व्यवहार चुनें। यदि आपके वर्ग एक-दूसरे को छूते हैं (0–10, 10–20), तो वे जैसे लिखे हैं वैसे उपयोग होते हैं। यदि उनके बीच अंतराल है (10–19, 20–29), तो कैलकुलेटर डिफ़ॉल्ट रूप से हर सीमा को अंतराल के आधे हिस्से जितना बाहर की ओर खिसकाता है (9.5–19.5), जैसा माध्यिका के लिए पाठ्यपुस्तकें करती हैं। आप इसे बंद कर सकते हैं।
3. 3. सांख्यिकी पढ़ें। कार्ड माध्य, माध्यिका, बहुलक और नमूना मानक विचलन देते हैं; तालिका चतुर्थक और समष्टि वाले रूप भी सूचीबद्ध करती है।
4. 4. हल का अनुसरण करें। हर सूत्र आपकी संख्याओं के साथ पूरा लिखा जाता है, ताकि आप उसे अपने नोट्स से मिला सकें या विधि कॉपी कर सकें।

समूहबद्ध आँकड़ों के सूत्र

समूहबद्ध तालिका व्यक्तिगत मान हटा देती है, इसलिए हर वर्ग का प्रतिनिधित्व उसके मध्य-बिंदु x से होता है और उसके भीतर के हर मान को x के बराबर माना जाता है। आवृत्ति f और कुल आवृत्ति n = Σf के साथ:

माध्यिका वर्ग वह पहला वर्ग है जिसकी संचयी आवृत्ति n ÷ 2 तक पहुँचती है। सूत्र माध्यिका को उस वर्ग के भीतर आनुपातिक रूप से रखता है, जो संचयी आवृत्ति बहुभुज (ogive) से उसे पढ़ने के बराबर है। बहुलक वर्ग वह है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक है; बहुलक उस पड़ोसी की ओर खिंचता है जो ऊँचा है।

वर्ग की सीमाएँ बनाम वर्ग-सीमा-बिंदु

वर्ग की सीमाएँ वे सबसे छोटे और सबसे बड़े मान हैं जो एक वर्ग दर्ज होने पर रख सकता है: पूर्ण वर्षों की उम्र के लिए 10–19 और 20–29। 19 और 20 के बीच अंतराल है, इसलिए मापा गया मान 19.6 कहीं नहीं आता। वर्ग-सीमा-बिंदु अंतराल को बाँटकर उसे बंद करते हैं: 9.5–19.5 और 19.5–29.5। माध्यिका, चतुर्थक और बहुलक के सूत्र सीमा-बिंदु उपयोग करते हैं, क्योंकि वे एक सतत पैमाने पर अंतर्वेशन करते हैं। मध्य-बिंदु दोनों में एक ही रहता है, इसलिए माध्य और मानक विचलन नहीं बदलते।

हल किया गया उदाहरण

“उदाहरण आज़माएँ” पर क्लिक करें ताकि 50 में से अंकों के पाँच वर्ग लोड हों — 0–10 (3 छात्र), 10–20 (7), 20–30 (12), 30–40 (14) और 40–50 (9) — इसलिए n = 45 और मध्य-बिंदु 5, 15, 25, 35 और 45 हैं।

• माध्य: Σfx = 15 + 105 + 300 + 490 + 405 = 1,315, इसलिए x̄ = 1,315 ÷ 45 = 29.2222।
• प्रसरण और SD: Σfx² = 44,525, इसलिए s² = (44,525 − 1,315² ÷ 45) ÷ 44 = 138.5859 और s = 11.7722। n से भाग देने पर समष्टि प्रसरण 135.5062 और SD 11.6407 है।
• माध्यिका: n ÷ 2 = 22.5। संचयी आवृत्तियाँ 3, 10, 22, 36, 45 हैं, इसलिए माध्यिका वर्ग 30–40 है, जिसमें CF = 22 और f = 14। माध्यिका = 30 + ((22.5 − 22) ÷ 14) × 10 = 30.3571।
• चतुर्थक: Q1 11.25 पर पड़ता है, जो वर्ग 20–30 में है: 20 + ((11.25 − 10) ÷ 12) × 10 = 21.0417। Q3 33.75 पर पड़ता है, 30–40 में: 30 + ((33.75 − 22) ÷ 14) × 10 = 38.3929।
• बहुलक: बहुलक वर्ग 30–40 है (f₁ = 14), पड़ोसियों 12 और 9 के साथ। Δ1 = 2 और Δ2 = 5, इसलिए बहुलक = 30 + (2 ÷ 7) × 10 = 32.8571।

माध्य (29.2) माध्यिका (30.4) से नीचे है, जो बहुलक (32.9) से नीचे है — उस क्रम में जो निचले अंकों की ओर लंबी पूँछ वाले आँकड़ों के लिए अपेक्षित है।

समूहबद्ध सांख्यिकी कितनी सटीक है?

ये अनुमान हैं। हर मान को उसके वर्ग के मध्य-बिंदु से बदलना तभी सटीक है जब हर वर्ग के भीतर मान समान रूप से फैले हों, इसलिए समूहबद्ध माध्य आमतौर पर सही माध्य के पास होता है, और समूहबद्ध माध्यिका व बहुलक देखे गए मानों के बजाय अंतर्वेशन होते हैं। सतत आँकड़ों के लिए प्रसरण थोड़ा अधिक आँका जाता है; शेपर्ड का सुधार w² ÷ 12 घटाता है (w वर्ग की चौड़ाई), जब वर्ग बराबर हों और फैलाव की तुलना में संकरे हों। जब आपके पास कच्चा डेटा हो, तब सांख्यिकी कैलकुलेटर उपयोग करें; यह उपकरण तब जब आपके पास केवल एक तालिका हो।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

समूहबद्ध आँकड़ों का माध्य कैसे ज्ञात करें?

हर वर्ग का मध्य-बिंदु ज्ञात करें, उसे वर्ग की आवृत्ति से गुणा करें, गुणनफलों को जोड़ें और कुल आवृत्ति से भाग दें: x̄ = Σfx ÷ n। वर्ग 0–10, 10–20 आदि, जिनकी आवृत्तियाँ 3, 7, 12, 14 और 9 हैं, उनके गुणनफल 1,315 तक जुड़ते हैं और माध्य 1,315 ÷ 45 = 29.2222 है।

समूहबद्ध आँकड़ों की माध्यिका कैसे ज्ञात करें?

n ÷ 2 निकालें, पहला वर्ग खोजें जिसकी संचयी आवृत्ति उस तक पहुँचती है (माध्यिका वर्ग), फिर L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w लगाएँ, जहाँ L उस वर्ग की निचली सीमा है, CF उससे पहले की संचयी आवृत्ति, f उसकी आवृत्ति और w उसकी चौड़ाई। परिणाम माध्यिका वर्ग के भीतर कहीं पड़ता है।

समूहबद्ध आँकड़ों का बहुलक कैसे ज्ञात करें?

सबसे अधिक आवृत्ति वाला वर्ग (बहुलक वर्ग) चुनें और L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w लगाएँ, जहाँ Δ1 उसकी आवृत्ति घटा पिछले वर्ग की आवृत्ति है, Δ2 उसकी आवृत्ति घटा अगले वर्ग की आवृत्ति है, और w उसकी चौड़ाई है। यदि दो वर्ग बराबर हों, तो कैलकुलेटर हर एक के लिए बहुलक बताता है।

आवृत्ति तालिका से मानक विचलन कैसे निकालें?

माध्य निकालें, फिर s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1) और उसका वर्गमूल लें। समष्टि के लिए n − 1 के बजाय n उपयोग करें। कैलकुलेटर दोनों दिखाता है, ताकि आप अपने कोर्स के अनुसार जो चाहिए उसे मिला सकें।

वर्ग की सीमाओं और वर्ग-सीमा-बिंदुओं में क्या अंतर है?

सीमाएँ किसी वर्ग के दर्ज किए गए छोर हैं (10–19, 20–29)। सीमा-बिंदु अंतरालों के बीच के आधे बिंदु हैं (9.5, 19.5, 29.5), जो वर्गों को सतत बनाते हैं। माध्यिका, चतुर्थक और बहुलक के सूत्र सीमा-बिंदु उपयोग करते हैं; मध्य-बिंदु, माध्य और मानक विचलन प्रभावित नहीं होते।

मेरा समूहबद्ध माध्य कच्चे डेटा के माध्य से अलग क्यों है?

समूहीकरण जानकारी खो देता है। किसी वर्ग के हर मान को मध्य-बिंदु पर माना जाता है, इसलिए समूहबद्ध माध्य केवल एक सन्निकटन है। आप जितने अधिक वर्ग उपयोग करेंगे, और मान हर वर्ग में जितने समान रूप से फैले होंगे, वह उतना ही करीब होगा।

क्या वर्गों की चौड़ाई अलग-अलग हो सकती है?

हाँ। माध्य, प्रसरण, माध्यिका और चतुर्थक किसी भी चौड़ाई के साथ काम करते हैं। बहुलक के लिए कैलकुलेटर कच्ची आवृत्ति के बजाय आवृत्ति-घनत्व (आवृत्ति ÷ चौड़ाई) की तुलना करता है, क्योंकि चौड़ा वर्ग स्वाभाविक रूप से अधिक मान इकट्ठा करता है। ऐसा करने पर यह एक टिप्पणी दिखाता है।