曲線フィッティング計算ツール
x と y の値を貼り付けると、線形、多項式（2〜6次）、指数関数、対数、べき乗の曲線を一度に当てはめます。各式とR²、修正済みR²、RMSE、AIC、AICcを並べて表示し、すべての曲線を載せたグラフ、残差の診断、パラメータの標準誤差、新しい x に対する予測も得られます。無料で、登録は不要です。すべてブラウザの中で動きます。
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少なくとも4組の (x, y) を入力し、異なる x の値を少なくとも3つ含めてください。
曲線フィッティング計算ツールの使い方
- 1. データを入力します。 対応する順序で2つのリストを入力するか、1行に「x, y」の組を1つずつ書きます。少なくとも4組が必要で、異なる x の値が少なくとも3つ必要です。多いほど良い結果になります。
- 2. モデルを選びます。 比較したい曲線にチェックを入れます。対数モデルとべき乗モデルでは、すべての x が 0 より大きい必要があります。指数関数モデルとべき乗モデルでは、すべての y が 0 より大きい必要があります。当てはめられないモデルは、その理由を表示します。
- 3. 指数関数とべき乗の当てはめ方を選びます。 非線形の最小二乗法で元の y に当てはめると、実際の値に最もよく合います。変換した方法は、表計算ソフトの近似曲線と同じく、ln y に対する直線として当てはめます。
- 4. 比較して確認します。 表を読み、検討しているモデルのグラフと残差を確認してください。曲線の形が間違っていれば、最もよい数値にも意味がありません。新しい x の値を予測するには、予測の欄を使ってください。
曲線の種類
| モデル | 式 | よく使われる場面 |
|---|---|---|
| 線形 | y = a₀ + a₁x | 一定の変化 |
| 多項式（次数 d） | y = a₀ + a₁x + … + a_dx^d | 曲がりのある滑らかな曲線。折れ曲がりは最大で d − 1 か所 |
| 指数関数 | y = a·e^(bx) | 一定の割合での増加または減少 |
| 対数 | y = a + b·ln x | 急に変化したあと、横ばいになる |
| べき乗 | y = a·x^b | スケーリング則。b は弾性 |
すべての多項式は、中心化して再スケールした x に対して QR 分解で当てはめます。そのため、1990〜2020年のような暦年への6次の当てはめも、0〜1への当てはめと同じくらい正確で、予測もこの安定した形を使います。式に示される展開された係数は、x が大きく 0 から遠いとき、打ち消し合いで桁が失われることがあります。その場合、ページが警告します。表計算ソフトの近似曲線の式は係数を数桁で丸めるため、同じ理由で、年のような大きな x の値では高次の曲線を再現できません。
指数関数とべき乗の当てはめで、方法が重要な理由
変換した当てはめは ln y をとり、最小二乗法による直線を求めてから元に戻します。これは対数の尺度での誤差を最小にするため、小さい値を強く、大きい値を弱く重み付けします。非線形の当てはめは、y そのものの二乗誤差を最小にします。通常、こちらの方が知りたい値に近いものです。同じデータでも、2つの方法はパラメータも R² も異なる値になります。このツールは、すべてのモデルについて元の y 上の R² を報告するため、公平に比較できます。変換した当てはめでは、表計算ソフトが示すような、対数の尺度での R² も示します。
具体例
例では、古典的な50件の自動車の制動データ（R の cars データ）を読み込みます。速度（mph）と停止距離（フィート）の組です。元の尺度で当てはめた6つのモデルは次のとおりです。
| モデル | R² | RMSE | AICc | Δ AICc |
|---|---|---|---|---|
| べき乗: y = 0.5897 x^1.5493 | 0.6654 | 15.06 | 417.59 | 0 |
| 指数関数: y = 9.4045 e^(0.0917x) | 0.6649 | 15.07 | 417.66 | 0.07 |
| 二次 | 0.6673 | 15.18 | 419.66 | 2.07 |
| 線形: y = −17.58 + 3.932x | 0.6511 | 15.38 | 419.68 | 2.09 |
| 三次 | 0.6732 | 15.20 | 421.25 | 3.66 |
| 対数 | 0.5607 | 17.26 | 431.19 | 13.61 |
多項式の項を1つ加えるたびに R² はじわじわ上がります。三次は 0.6732、6次の多項式は 0.6888 です。しかし、パラメータごとにペナルティを課す AICc では、パラメータが2つだけのべき乗と指数関数の曲線が首位になります。べき乗の曲線には、わかりやすい意味もあります。制動距離はおおよそ速度の1.5乗（b = 1.55、SE 0.19）で増えます。これは、物理学が示す線形と二乗の関係の中間です。上位のモデルは AICc でおよそ2の差に収まっているので、データだけではどれが良いとは決められません。筋の通ったものを選んでください。変換したべき乗の曲線として当てはめると、ln 尺度での R² は 0.7331 になりますが、元の尺度での R² は 0.6583 に下がります。
モデルを賢く選ぶ
- まずグラフを見て、次に残差を見ます。 残差に規則的なパターンがあれば、曲線の形が間違っています。
- パラメータ数が違うモデルを比べるには、R² ではなく AICc を使います。 AICc は、同じ y の値に当てはめたモデル同士でのみ比較できます。約2未満の差には意味がありません。
- 理論を優先します。 過程がわかっている場合（複利の成長や、スケーリング則など）は、わずかに点数の高いモデルより、その過程に合うモデルを使ってください。
- 多項式の次数は低く保ちます。 3次か4次を超えると、多項式はたいてい雑音を追いかけ、データの外側で激しく振れます。その外側で予測に使ってはいけません。
よくある質問
- 最もよく当てはまる曲線は、どうやって選べばよいですか？
- データと各曲線をグラフにし、残差が0の周りに均等に散らばっているかを確かめ、モデル間で AICc を比べてください。R² だけでは、必ずパラメータが最も多いモデルが選ばれます。そのうえで、勝ったモデルが研究している過程に合うかどうか、そして、最も小さい x から最も大きい x の範囲の中だけで使うかどうかを考えてください。
- 指数関数の R² が Excel と違うのはなぜですか？
- Excel の指数関数の近似曲線は、ln y に対する直線を当てはめ、その対数の尺度での R² を報告します。非線形の最小二乗法は y そのものの誤差を最小にし、その R² は y の上で測られます。このツールはどちらの方法でも計算でき、変換した方法では対数の尺度での R² を、すべてのモデルでは元の y 上の R² を示します。これにより、比較が公平になります。
- 多項式の次数は、いくつにすればよいですか？
- 見えている形を捉えるのに足りる、最も低い次数を使ってください。通常は2か3です。次数を1つ増やすたびに、曲線は1回多く曲がれるようになり、雑音に当てはまります。R² は上がりますが、予測は悪くなります。次数 + 2 個以上のデータ点が必要で、信頼できる当てはめにはさらに多くが必要です。
- 対数、べき乗、指数関数のモデルを、なぜ当てはめられないのですか？
- 対数は正の数に対してしか定義されないからです。対数モデルとべき乗モデルでは、すべての x が 0 より大きい必要があります。指数関数モデルとべき乗モデルでは、すべての y が 0 より大きい必要があります。当てはめは ln y や ln x を経由して行われるためです。問題にとって意味がある場合に限り、データをずらしてください（たとえば、時間を 0 ではなく 1 から測る）。
- AIC と AICc は、何を意味しますか？
- AIC は当てはまりの良さと複雑さのバランスを取る指標です。対数尤度の −2 倍に、パラメータ数（誤差の分散を含む）の 2 倍を加えたものです。AICc は、n がパラメータ数に比べて小さいときに効く補正を加えます。値が小さいほど良く、重要なのは差だけです。ここでの値は R の定義を使うので、同じモデルについて R の AIC と一致します。
- 当てはめた式で、データの外側を予測できますか？
- 非常に慎重にすれば可能です。ここでのどの曲線も、測定した範囲を経験的に記述したものにすぎません。多項式は、データのすぐ外側で激しく振れることがあり、指数関数は爆発的に増えることがあります。予測の欄は、新しい x が観測された範囲の外にあるとき警告します。