指数成長計算ツール
離散増加 A = P(1 + r)^t または連続増加 A = Pe^(rt) を選び、増加か減衰かを選んで、最終量、初期量、率、時間のいずれかを求めます。倍加時間または半減期、72・70・69.3の法則との比較、同じ率を両方の形で表した値、値の表、グラフも得られます。無料で、登録は不要です。
ラベルとしてのみ使用します。例えば年、日、時間など。
結果
1,628.8946
最終量（A）
1.05
期間あたりの係数
+62.89%
総変化
5%（期間あたり）
離散の率として
4.879%（期間あたり）
連続の率として
14.2067期間
倍加時間
計算過程
未知数について公式を変形します。
A = P × (1 + r)^t
数値を代入します。
A = 1,000 × (1 + 0.05)^10 = 1,000 × 1.628895 = 1,628.8946
1期間の増加係数は 1.05 です。
1 + 0.05 = 1.05
70、72、69.3の法則
法則は、倍加時間または半減期を、率（パーセント）で割った定数として見積もります。どれも近似です。正確な時間は ln 2 を、係数の ln で割った値です。
| 方法 | 時間（期間） | 正確値との差 |
|---|---|---|
| 正確値 | 14.2067 | — |
| 72の法則：72 / 率 | 14.4 | +1.36% |
| 70の法則：70 / 率 | 14 | -1.45% |
| 69.3の法則：69.3 / 率 | 13.86 | -2.44% |
値の表
| 時間（期間） | 量 | 開始時からの変化 |
|---|---|---|
| 0 | 1,000 | 0% |
| 1 | 1,050 | +5% |
| 2 | 1,102.5 | +10.25% |
| 3 | 1,157.625 | +15.76% |
| 4 | 1,215.5063 | +21.55% |
| 5 | 1,276.2816 | +27.63% |
| 6 | 1,340.0956 | +34.01% |
| 7 | 1,407.1004 | +40.71% |
| 8 | 1,477.4554 | +47.75% |
| 9 | 1,551.3282 | +55.13% |
| 10 | 1,628.8946 | +62.89% |
グラフ
- A(t)
指数成長計算ツールの使い方
- 1. モデルを選びます。 1期間ごとに一定の割合で増える場合は離散を、e の率と時間の積で増える場合は連続を選びます。
- 2. 増加か減衰か、何を求めるかを選びます。 求める値の入力欄は隠れます。率は正のパーセントで入力します。5 は5%を意味し、増加か減衰かの選択が符号を決めます。
- 3. 残りの3つの値を入力します。 時間の単位は表示用のラベルにすぎないため、年、日、時間のどれでも使えます。
- 4. 結果を読みます。 求めた値が最初に表示され、続いて増加率（成長係数）、倍加時間または半減期、目安の法則、値の表、グラフが表示されます。
2つのモデル
| モデル | 公式 | 率の意味 | 倍加時間 |
|---|---|---|---|
| 離散 | A = P(1 + r)^t | r は各期間の変化率です。減衰には 1 − r を使います | ln 2 / ln(1 + r) |
| 連続 | A = Pe^(rt) | r は瞬間的な率です。減衰には −r を使います | ln 2 / r |
P は初期量、A は時間 t の後の量、r は率です。率が関連づいていれば、2つのモデルは同じ曲線を表します。離散の率 r は連続の率 k = ln(1 + r) に等しく、連続の率 k は離散の率 e^k − 1 に等しくなります。名目の率が同じまま複利の回数を増やすと、極限で連続モデルになります。このツールは、入力した率を両方の形で表示します。
具体例
| 問題 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| 1期間に5%ずつ増える1,000の、10期間後 | 1000 × 1.05¹⁰ | 1,628.8946 |
| 同じ、ただし連続の場合 | 1000 × e^(0.05 × 10) | 1,648.7213 |
| 1期間に10%ずつ減る1,000の、3期間後 | 1000 × 0.9³ | 729 |
| 1期間8%で1,000が2,000に達するまでの時間 | ln 2 / ln 1.08 | 9.0065期間 |
| 8期間で1,500が2,400に達する率 | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | 1期間あたり6.0511% |
時間または率を求めるには、対数または根で式を変形します。t = ln(A / P) / ln(1 + r)、r = (A / P)^(1/t) − 1 です。このツールは、変形した式と数値を別々の行に示します。
倍加時間、半減期と72の法則
増加の場合、倍加時間は量が2倍になるまでの時間です。減衰の場合、半減期は量が半分になるまでの時間です。どちらも率だけで決まり、初期量には依存しません。72の法則は、倍加時間を率（パーセント）で72を割った値で見積もります。72は2、3、4、6、8、9、12で割り切れるため便利で、離散の率が8%前後、おおむね6%から10%のときに最も正確です。70の法則は2%前後のインフレ率のような低い率に適しています。連続の増加では、ln 2 ≈ 0.693 のため、69.3の法則が自然な選択です。
| 場合 | 正確な値 | 72の法則 | 70の法則 | 69.3の法則 |
|---|---|---|---|---|
| 離散、8% | 9.0065 | 9（−0.07%） | 8.75（−2.85%） | 8.6625（−3.82%） |
| 離散、5% | 14.2067 | 14.4（+1.36%） | 14（−1.45%） | 13.86（−2.44%） |
| 連続、5% | 13.8629 | 14.4（+3.87%） | 14（+0.99%） | 13.86（−0.02%） |
法則は暗算の目安として使う
法則は素早い見積もりであり、対数の公式の代わりにはなりません。率が高いとずれが大きくなり、減衰の場合はさらに粗くなります。重要な場合は正確な時間を使ってください。
よくある間違い
- 5%を 0.05 と入力する。 率の欄はパーセントを受け付けるため、5 と入力してください。0.05 と入力すると 0.05% を意味します。
- 減衰に 1 + r を使う。 毎期10%の減衰は 1.1 ではなく 0.9 を掛けることです。減衰を選ぶと、このツールは 1 − r を使います。
- 率と時間の単位を混同する。 年あたり5%の率には時間を年で入力し、月あたり5%なら月で入力します。
- 離散と連続の率を同じだと考える。 離散の5%は連続の約4.879%なので、同じ数でも2つのモデルは異なる量を与えます。
- 初期量や最終量に0や負の数を入れる。 対数は正の数にしか定義されないため、モデルには正の初期量と最終量が必要です。
よくある質問
- 指数成長の公式は何ですか？
- 期ごとに一定の割合で増える場合は A = P(1 + r)^t です。P は初期量、r は1期間あたりの率（小数）、t は期間数です。連続の成長は A = Pe^(rt) です。減衰では負の率を使うので、1期間10%の減衰は 0.9 を掛けることになります。
- 倍加時間はどう計算しますか？
- 離散の成長の正確な倍加時間は ln 2 / ln(1 + r)、連続の成長では ln 2 / r です。1期間8%なら9.0065期間です。72の法則は近い見積もりを与えます。72を率（パーセント）で割ります。
- 72の法則はどれくらい正確ですか？
- 率が8%前後で最も正確で、おおむね6%から10%なら良い近似です。5%の離散成長では1.4%高すぎます。連続成長では69.3の法則がほぼ正確で、低い率では70の法則の方が72より良い近似です。
- 離散成長と連続成長の違いは？
- 離散成長は率を1期間に1回適用します。したがって年5%は毎年1.05を掛けます。連続成長は瞬間ごとに適用されるもので、より頻繁に複利計算する極限にあたり、毎年 e^0.05 ≈ 1.0513 を掛けます。離散の率 r は連続の率 ln(1 + r) に等しくなります。
- 2つの値から増加率をどう求めますか？
- 求める値に率を選び、初期量、最終量、時間を入力します。離散成長では r = (A / P)^(1/t) − 1 です。例えば、8期間で1,500から2,400に増えると、1期間あたり6.0511%です。結果が負なら、量は減っています。
- 半減期はどう計算しますか？
- 半減期は、量が半分に減るまでの時間です。連続の減衰率の大きさで ln 2 を割るか、1期間あたり r の離散減衰なら ln 2 / −ln(1 − r) で求めます。減衰を選び、率を入力すると表示されます。
- 複利計算や人口増加にも使えますか？
- はい。どちらも1期間あたりの一定率による指数成長です。定期的な預け入れがある利息や、1期間に複数回の複利計算がある場合は、複利計算ツールの方が適しています。現実の人口は最終的に指数的な増加を止めるため、結果は予測ではなくモデルとして使ってください。