円計算ツール
円の半径、直径、円周、面積のどれか1つを入力すると、残りの3つが求まります。π を使った正確な値と小数を、すべての計算過程とともに表示します。さらに中心角を加えると、弧の長さ、扇形の面積、弦、弓形の面積と矢高を、ラベル付きの図とともに求められます。無料、登録は不要で、ブラウザ内で動作します。
整数、小数、3/4 のような分数を入力できます。円周と面積は、正確な値を保つために 10π のような π の倍数でも入力できます。
結果
| 測定値 | 正確な値 | 小数 |
|---|---|---|
| 半径 (r) | 5 cm | 5 cm |
| 直径 (d) | 10 cm | 10 cm |
| 円周 (C) | 10π cm | 31.42 cm |
| 面積 (A) | 25π cm² | 78.54 cm² |
計算過程
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
弧、扇形、弦、弓形
ここでは、上で求めた半径を使います。
| 測定値 | 正確な値 | 小数 |
|---|---|---|
| 弧の長さ (s) | 5π/3 cm | 5.24 cm |
| 扇形の面積 | 25π/6 cm² | 13.09 cm² |
| 弦の長さ (c) | 5 cm | 5 cm |
| 弓形の面積 | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2.26 cm² |
| 弓形の高さ（矢高） | 5 − 5√3/2 cm | 0.67 cm |
| 扇形の周の長さ | 10 + 5π/3 cm | 15.24 cm |
| 弓形の周の長さ | 5 + 5π/3 cm | 10.24 cm |
角度の計算過程
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
図
円計算ツールの使い方
- 1. 分かっている値を入力します。 半径、直径、円周、面積のいずれかを選び、値を入力します。整数、小数、3/4 のような分数は正確に読み取られます。
- 2. π を使って正確な値を保ちます。 円周や面積は 10π や 25π のように π の倍数で入力でき、半径はきれいな数で求まります。円周を π を付けずに 10 と入力すると、r = 5/π になります。
- 3. 4つの測定値を確認します。 半径、直径、円周、面積が、正確な形と、選んだ桁数に丸めた小数で表示され、その下に計算過程が示されます。
- 4. 中心角を加えます。 度数法、または pi/3 のような π の倍数の弧度法（ラジアン）で入力します。弧、扇形、弦、弓形、矢高が、ラベル付きの円に描かれて続いて表示されます。
円の公式
| 求めるもの | 公式 | メモ |
|---|---|---|
| 直径 | d = 2r | 半径の2倍 |
| 円周 | C = 2πr = πd | 円の周りの長さ |
| 面積 | A = πr² | 円の内側の面積 |
| 円周から半径 | r = C / (2π) | C = 2πr を変形したもの |
| 面積から半径 | r = √(A / π) | A = πr² を変形したもの |
| 円周から面積 | A = C² / (4π) | r = C / (2π) を代入したもの |
円周率 π は、どの円でも円周と直径の比で、約 3.14159 です。無理数であるため、多くの円の問題の正確な答えは π を含む形（78.5398… ではなく 25π）で書かれ、丸めるのは最後だけにします。
弧、扇形、弦、弓形
中心角 θ は円を分割します。最もきれいな公式にするため、θ は弧度法（180° = π ラジアン）で扱います。
| 部分 | 公式 | 内容 |
|---|---|---|
| 弧の長さ | s = r × θ | 2本の半径の間にある曲線の縁 |
| 扇形の面積 | ½ × r² × θ | 中心から弧までの扇形の部分 |
| 弦 | c = 2r × sin(θ / 2) | 弧の両端を結ぶ直線 |
| 弓形の面積 | ½ × r² × (θ − sin θ) | 弦と弧に挟まれた領域 |
| 矢高 | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | 弓形の高さ |
弓形は、扇形から、2本の半径と弦でできる三角形を引いたものです。その三角形の面積は ½r² sin θ で、ここから θ − sin θ が出てきます。θ が 180° を超える場合も公式は成り立ちます。その場合の「弓形」は大きい方の部分になり、矢高は半径より大きくなります。
具体例
- 半径から求める。 r = 5 のとき、d = 10、C = 10π ≈ 31.42、A = 25π ≈ 78.54 です。
- 円周から求める。 C = 10 のとき、r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1.59、A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7.96 です。10π と入力すると、同じ円の r は 5 になります。
- 半径3の60°の扇形。 θ = π/3 なので、弧は π ≈ 3.14、扇形は 3π/2 ≈ 4.71、弦は 2 × 3 × sin 30° = 3 です。三角形が正三角形なので、弦は半径と等しくなります。
- その弓形。 弓形の面積 = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0.82、矢高は 3 − 3√3/2 ≈ 0.40 です。
正確な弦や弓形は、sin(θ/2) と sin θ に閉じた形の値があるときに現れます。つまり、弦は θ が 30° の倍数のとき、弓形は θ が 15° の倍数のときです。50° のように、それ以外の角度では、弧と扇形は正確に求めますが、弦と弓形は小数で示します。
よくある間違い
- 半径を必要とする公式に直径を入れること。面積は A = πr² であり、πd² ではありません。
- s = rθ や ½r²θ は弧度法を必要とするのに、度数のまま計算すること。このツールは変換を自動で行います。
- 扇形（中心まで届く扇状の部分）と弓形（弦で切り取られる部分）を混同すること。
- π を早い段階で 3.14 に丸めること。正確な答え 25π と小数 78.54 は約 0.04 ずれます。
よくある質問
- 円周から円の面積を求めるには？
- まず半径を r = C / (2π) で求め、次に A = πr² を使います。両方を組み合わせると A = C² / (4π) になります。円周が 10 の場合、面積は 100 / (4π) = 25/π で、約 7.96 です。
- 半径と直径の違いは何ですか？
- 半径は中心から円周までの長さ、直径は中心を通って端から端までの長さで、d = 2r です。面積の公式は半径を使い、C = πd は直径を使います。
- 円の弧の長さはどう求めますか？
- 半径に、弧度法で表した中心角を掛けます。s = rθ です。角度が度数法の場合は、一周に対する割合を取ります。s = (θ / 360°) × 2πr です。半径3の円の60°の弧の長さは π です。
- 扇形と弓形の違いは何ですか？
- 扇形は、2本の半径と弧で囲まれた部分で、ピザの一切れのようなものです。弓形は、弦と、それが切り取る弧の間の領域です。弓形は、扇形から、2本の半径と弦でできる三角形を引いたものです。
- 弦の長さはどう求めますか？
- c = 2r × sin(θ / 2) です。θ は中心角です。代わりに中心から弦までの距離 d が分かっている場合は、三平方の定理により c = 2√(r² − d²) です。180° の弦は直径です。
- 弓形の矢高とは何ですか？
- 矢高は弓形の高さ、つまり弦の中点から弧の中点までの距離で、h = r × (1 − cos(θ / 2)) です。アーチやレンズの「ふくらみ」にあたります。
- なぜ計算機は小数ではなく π を表示するのですか？
- π は無理数なので、どの小数も近似値であり、答えの構造も隠れてしまうからです。25π と書くと、その後の計算でも正確な値を保てます。測定に使う数値が必要な場合に備えて、小数も隣に表示します。