Calculadora de círculos
Introduce el radio, el diámetro, la circunferencia o el área de un círculo y obtén los otros tres, exactos en función de π, con el decimal y cada paso. Después añade un ángulo central para hallar la longitud del arco, el área del sector, la cuerda, el segmento circular y la altura del segmento, con una figura etiquetada. Gratis, sin registro; funciona en tu navegador.
Números enteros, decimales y fracciones como 3/4. La circunferencia y el área pueden escribirse como múltiplo de π, como 10π, para que la respuesta siga siendo exacta.
Resultados
| Medida | Exacto | Decimal |
|---|---|---|
| Radio (r) | 5 cm | 5 cm |
| Diámetro (d) | 10 cm | 10 cm |
| Circunferencia (C) | 10π cm | 31,42 cm |
| Área (A) | 25π cm² | 78,54 cm² |
El cálculo
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
Arco, sector, cuerda y segmento
Estos usan el radio calculado arriba.
| Medida | Exacto | Decimal |
|---|---|---|
| Longitud del arco (s) | 5π/3 cm | 5,24 cm |
| Área del sector | 25π/6 cm² | 13,09 cm² |
| Longitud de la cuerda (c) | 5 cm | 5 cm |
| Área del segmento | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2,26 cm² |
| Altura del segmento (sagita) | 5 − 5√3/2 cm | 0,67 cm |
| Perímetro del sector | 10 + 5π/3 cm | 15,24 cm |
| Perímetro del segmento | 5 + 5π/3 cm | 10,24 cm |
Cálculo del ángulo
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
Figura
Cómo usar la calculadora de círculos
- 1. Indica lo que conoces. Elige radio, diámetro, circunferencia o área, y escribe el valor. Los números enteros, los decimales y las fracciones como 3/4 se leen con exactitud.
- 2. Mantén la exactitud con π. Una circunferencia o un área pueden escribirse como múltiplo de π, como 10π o 25π, y el radio sale como un número limpio. Escrita como número sin π, una circunferencia de 10 da r = 5/π.
- 3. Lee las cuatro medidas. El radio, el diámetro, la circunferencia y el área aparecen en forma exacta y como decimales redondeados a las cifras que elijas, con el cálculo debajo.
- 4. Añade un ángulo central. Escríbelo en grados, o en radianes como múltiplo de π, como pi/3. Después aparecen el arco, el sector, la cuerda, el segmento y la sagita, dibujados sobre un círculo etiquetado.
Fórmulas del círculo
| Hallar | Fórmula | Notas |
|---|---|---|
| Diámetro | d = 2r | El doble del radio |
| Circunferencia | C = 2πr = πd | La distancia alrededor |
| Área | A = πr² | La superficie interior |
| Radio a partir de la circunferencia | r = C / (2π) | Despeja de C = 2πr |
| Radio a partir del área | r = √(A / π) | Despeja de A = πr² |
| Área a partir de la circunferencia | A = C² / (4π) | Sustituye r = C / (2π) |
El número π es la razón entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro, unos 3,14159. Es irracional, así que la respuesta exacta de la mayoría de los problemas de círculos se escribe con π —25π en lugar de 78,5398…— y se redondea solo al final.
Arco, sector, cuerda y segmento
Un ángulo central θ divide el círculo en partes. Mide θ en radianes (180° = π radianes) para que las fórmulas sean más limpias.
| Elemento | Fórmula | Qué es |
|---|---|---|
| Longitud del arco | s = r × θ | El borde curvo entre los dos radios |
| Área del sector | ½ × r² × θ | La porción desde el centro hasta el arco |
| Cuerda | c = 2r × sin(θ / 2) | La línea recta que une los extremos del arco |
| Área del segmento | ½ × r² × (θ − sin θ) | La región entre la cuerda y el arco |
| Sagita | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | La altura del segmento |
El segmento es el sector menos el triángulo formado por los dos radios y la cuerda, cuya área es ½r² sin θ; de ahí sale θ − sin θ. Para θ mayor de 180° las fórmulas siguen valiendo: el «segmento» es entonces la parte mayor y su sagita supera el radio.
Ejemplos desarrollados
- Desde el radio. r = 5 da d = 10, C = 10π ≈ 31,42 y A = 25π ≈ 78,54.
- Desde una circunferencia. C = 10 da r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1,59, y A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7,96. Escrita como 10π, la misma circunferencia tiene r = 5.
- Un sector de 60° y radio 3. θ = π/3, así que el arco es π ≈ 3,14, el sector es 3π/2 ≈ 4,71 y la cuerda es 2 × 3 × sin 30° = 3, igual que el radio, porque el triángulo es equilátero.
- Su segmento. Área del segmento = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0,82, y la sagita es 3 − 3√3/2 ≈ 0,40.
Las cuerdas y los segmentos exactos aparecen cuando sin(θ/2) y sin θ tienen una forma cerrada; es decir, para ángulos que son múltiplos de 30° y de 15°, respectivamente. Para otros ángulos, como 50°, el arco y el sector siguen siendo exactos, pero la cuerda y el segmento se dan como decimales.
Errores comunes
- Usar el diámetro en una fórmula que necesita el radio: A = πr², no πd².
- Calcular con grados en s = rθ o ½r²θ, que necesitan radianes; la calculadora hace la conversión por ti.
- Confundir el sector (la porción que llega hasta el centro) con el segmento (el casquete que corta una cuerda).
- Redondear π a 3,14 demasiado pronto: la respuesta exacta 25π y el decimal 78,54 difieren en unos 0,04.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se calcula el área de un círculo a partir de su circunferencia?
- Primero se halla el radio, r = C / (2π), y luego se usa A = πr². Combinadas, dan A = C² / (4π). Una circunferencia de 10 da un área de 100 / (4π) = 25/π, unos 7,96.
- ¿Cuál es la diferencia entre radio y diámetro?
- El radio va del centro al borde; el diámetro atraviesa el círculo pasando por el centro, así que d = 2r. Las fórmulas del área usan el radio, mientras que C = πd usa el diámetro.
- ¿Cómo se calcula la longitud del arco de un círculo?
- Se multiplica el radio por el ángulo central en radianes: s = rθ. Si el ángulo está en grados, se toma la fracción de la vuelta completa: s = (θ / 360°) × 2πr. Un arco de 60° en un círculo de radio 3 mide π.
- ¿Cuál es la diferencia entre sector y segmento?
- Un sector es la porción limitada por dos radios y el arco, como una porción de pizza. Un segmento es la región entre una cuerda y el arco que corta. El segmento es el sector menos el triángulo formado por los dos radios y la cuerda.
- ¿Cómo se calcula la longitud de una cuerda?
- c = 2r × sin(θ / 2), donde θ es el ángulo central. Si en cambio conoces la distancia d de la cuerda al centro, c = 2√(r² − d²), por el teorema de Pitágoras. Una cuerda de 180° es un diámetro.
- ¿Qué es la sagita de un segmento circular?
- La sagita es la altura del segmento: la distancia desde el punto medio de la cuerda hasta el punto medio del arco, h = r × (1 − cos(θ / 2)). Es la curvatura de un arco o de una lente.
- ¿Por qué la calculadora muestra π en lugar de un decimal?
- Porque π es irracional, cualquier decimal es una aproximación, y además oculta la estructura del resultado. Escribir 25π mantiene el resultado exacto para seguir trabajando; el decimal se muestra al lado para cuando necesitas un número con el que medir.