Calcolatore del Cerchio
Inserisci uno qualsiasi tra raggio, diametro, circonferenza o area di un cerchio e ottieni gli altri tre — esatti in funzione di π, con il valore decimale e ogni passaggio. Poi aggiungi un angolo al centro per trovare la lunghezza dell'arco, l'area del settore, la corda, il segmento circolare e l'altezza del segmento, con una figura etichettata. Gratuito, senza registrazione; funziona nel tuo browser.
Numeri interi, decimali e frazioni come 3/4. Circonferenza e area possono essere scritte come multiplo di π, come 10π, per mantenere la risposta esatta.
Risultati
| Misura | Esatto | Decimale |
|---|---|---|
| Raggio (r) | 5 cm | 5 cm |
| Diametro (d) | 10 cm | 10 cm |
| Circonferenza (C) | 10π cm | 31,42 cm |
| Area (A) | 25π cm² | 78,54 cm² |
Il procedimento
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
Arco, settore, corda e segmento
Questi usano il raggio trovato sopra.
| Misura | Esatto | Decimale |
|---|---|---|
| Lunghezza dell'arco (s) | 5π/3 cm | 5,24 cm |
| Area del settore | 25π/6 cm² | 13,09 cm² |
| Lunghezza della corda (c) | 5 cm | 5 cm |
| Area del segmento | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2,26 cm² |
| Altezza del segmento (sagitta) | 5 − 5√3/2 cm | 0,67 cm |
| Perimetro del settore | 10 + 5π/3 cm | 15,24 cm |
| Perimetro del segmento | 5 + 5π/3 cm | 10,24 cm |
Procedimento per l'angolo
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
Figura
Come usare il calcolatore del cerchio
- 1. Indica che cosa conosci. Scegli raggio, diametro, circonferenza o area e digita il valore. Numeri interi, decimali e frazioni come 3/4 vengono letti in modo esatto.
- 2. Mantieni il risultato esatto con π. Una circonferenza o un'area si possono digitare come multiplo di π, come 10π o 25π, e il raggio risulta un numero semplice. Digitata come numero semplice, una circonferenza di 10 dà r = 5/π.
- 3. Leggi le quattro misure. Raggio, diametro, circonferenza e area compaiono in forma esatta e come decimali arrotondati alle cifre che scegli, con il procedimento sotto.
- 4. Aggiungi un angolo al centro. Digitalo in gradi, oppure in radianti come multiplo di π, come pi/3. Seguono arco, settore, corda, segmento e sagitta, disegnati su un cerchio etichettato.
Formule del cerchio
| Trova | Formula | Note |
|---|---|---|
| Diametro | d = 2r | Il doppio del raggio |
| Circonferenza | C = 2πr = πd | La lunghezza del contorno |
| Area | A = πr² | La superficie interna |
| Raggio dalla circonferenza | r = C / (2π) | Riarrangia C = 2πr |
| Raggio dall'area | r = √(A / π) | Riarrangia A = πr² |
| Area dalla circonferenza | A = C² / (4π) | Sostituisce r = C / (2π) |
Il numero π è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio qualsiasi e il suo diametro, circa 3,14159. È irrazionale, quindi la risposta esatta alla maggior parte dei problemi sul cerchio si scrive con π — 25π invece di 78,5398… — e si arrotonda soltanto alla fine.
Arco, settore, corda e segmento
Un angolo al centro θ divide il cerchio in parti. Misura θ in radianti (180° = π radianti) per le formule più semplici.
| Parte | Formula | Che cos'è |
|---|---|---|
| Lunghezza dell'arco | s = r × θ | Il bordo curvo tra i due raggi |
| Area del settore | ½ × r² × θ | La fetta dal centro all'arco |
| Corda | c = 2r × sin(θ / 2) | La retta che unisce gli estremi dell'arco |
| Area del segmento | ½ × r² × (θ − sin θ) | La regione tra la corda e l'arco |
| Sagitta | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | L'altezza del segmento |
Il segmento è il settore meno il triangolo formato dai due raggi e dalla corda, la cui area è ½r² sin θ — da cui deriva θ − sin θ. Per θ superiore a 180° le formule restano valide: il «segmento» è allora la parte più grande e la sua sagitta supera il raggio.
Esempi svolti
- Dal raggio. r = 5 dà d = 10, C = 10π ≈ 31,42 e A = 25π ≈ 78,54.
- Da una circonferenza. C = 10 dà r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1,59, e A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7,96. Digitata come 10π, la stessa circonferenza ha r = 5.
- Un settore di 60° di raggio 3. θ = π/3, quindi l'arco è π ≈ 3,14, il settore è 3π/2 ≈ 4,71 e la corda è 2 × 3 × sin 30° = 3 — uguale al raggio, perché il triangolo è equilatero.
- Il suo segmento. Area del segmento = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0,82, e la sagitta è 3 − 3√3/2 ≈ 0,40.
Corde e segmenti esatti compaiono quando sin(θ/2) e sin θ hanno una forma chiusa, cioè per angoli che sono multipli rispettivamente di 30° e di 15°. Per altri angoli, come 50°, arco e settore restano esatti, mentre corda e segmento sono dati come decimali.
Errori comuni
- Usare il diametro in una formula che richiede il raggio: A = πr², non πd².
- Calcolare con i gradi in s = rθ o ½r²θ, che richiedono i radianti; il calcolatore fa la conversione per te.
- Confondere il settore (la fetta che arriva al centro) con il segmento (la calotta tagliata da una corda).
- Arrotondare π a 3,14 troppo presto: la risposta esatta 25π e il decimale 78,54 differiscono di circa 0,04.
Domande frequenti
- Come si trova l'area di un cerchio partendo dalla circonferenza?
- Prima si trova il raggio, r = C / (2π), poi si usa A = πr². Combinando le due formule si ottiene A = C² / (4π). Una circonferenza di 10 dà un'area di 100 / (4π) = 25/π, circa 7,96.
- Qual è la differenza tra raggio e diametro?
- Il raggio va dal centro al bordo; il diametro attraversa tutto il cerchio passando per il centro, quindi d = 2r. Le formule dell'area usano il raggio, mentre C = πd usa il diametro.
- Come si trova la lunghezza dell'arco di un cerchio?
- Si moltiplica il raggio per l'angolo al centro in radianti: s = rθ. Se l'angolo è in gradi, si prende la frazione di un giro completo: s = (θ / 360°) × 2πr. Un arco di 60° di un cerchio di raggio 3 misura π.
- Qual è la differenza tra settore e segmento?
- Il settore è la fetta delimitata da due raggi e dall'arco, come una fetta di pizza. Il segmento è la regione compresa tra una corda e l'arco che essa taglia. Il segmento è il settore meno il triangolo formato dai due raggi e dalla corda.
- Come si trova la lunghezza di una corda?
- c = 2r × sin(θ / 2), dove θ è l'angolo al centro. Se invece si conosce la distanza d della corda dal centro, c = 2√(r² − d²), per il teorema di Pitagora. Una corda di 180° è un diametro.
- Che cos'è la sagitta di un segmento circolare?
- La sagitta è l'altezza del segmento: la distanza tra il punto medio della corda e il punto medio dell'arco, h = r × (1 − cos(θ / 2)). È il «rigonfiamento» di un arco o di una lente.
- Perché il calcolatore mostra π invece di un decimale?
- Perché π è irrazionale, quindi ogni decimale è un'approssimazione, e la forma con π rivela anche la struttura della risposta. Scrivere 25π mantiene il risultato esatto per i calcoli successivi; il decimale è mostrato accanto per quando serve un numero da misurare.