원 계산기
원의 반지름, 지름, 원주, 넓이 중 하나를 입력하면 나머지 세 값을 구합니다. 결과는 π를 사용한 정확한 형태와 소수로 나오며, 모든 계산 과정도 함께 보여 줍니다. 중심각을 더하면 호의 길이, 부채꼴 넓이, 현, 활꼴, 활꼴 높이를 이름표가 붙은 그림과 함께 알 수 있습니다. 무료이며 회원가입이 필요 없고, 브라우저에서 바로 실행됩니다.
정수, 소수, 3/4 같은 분수를 입력할 수 있습니다. 원주와 넓이는 답을 정확하게 유지하도록 10π처럼 π의 배수로 쓸 수 있습니다.
결과
| 측정값 | 정확한 값 | 소수 |
|---|---|---|
| 반지름 (r) | 5 cm | 5 cm |
| 지름 (d) | 10 cm | 10 cm |
| 원주 (C) | 10π cm | 31.42 cm |
| 넓이 (A) | 25π cm² | 78.54 cm² |
계산 과정
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
호, 부채꼴, 현, 활꼴
아래 값은 위에서 구한 반지름을 사용합니다.
| 측정값 | 정확한 값 | 소수 |
|---|---|---|
| 호의 길이 (s) | 5π/3 cm | 5.24 cm |
| 부채꼴 넓이 | 25π/6 cm² | 13.09 cm² |
| 현의 길이 (c) | 5 cm | 5 cm |
| 활꼴 넓이 | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2.26 cm² |
| 활꼴 높이 (sagitta) | 5 − 5√3/2 cm | 0.67 cm |
| 부채꼴 둘레 | 10 + 5π/3 cm | 15.24 cm |
| 활꼴 둘레 | 5 + 5π/3 cm | 10.24 cm |
중심각에 대한 계산 과정
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
그림
원 계산기 사용 방법
- 1. 아는 값을 고르세요. 반지름, 지름, 원주, 넓이 중 하나를 고르고 값을 입력하세요. 정수, 소수, 3/4 같은 분수는 정확하게 읽힙니다.
- 2. π로 정확하게 유지하세요. 원주나 넓이는 10π나 25π처럼 π의 배수로 입력할 수 있으며, 이때 반지름은 깔끔한 수로 나옵니다. 그냥 숫자로 입력하면 원주 10은 r = 5/π를 줍니다.
- 3. 네 가지 측정값을 읽으세요. 반지름, 지름, 원주, 넓이가 정확한 형태와 선택한 자리수로 반올림한 소수로 표시되고, 그 아래에 계산 과정이 나옵니다.
- 4. 중심각을 더하세요. 도(°) 단위로 입력하거나, 라디안 단위로 pi/3처럼 π의 배수를 입력할 수 있습니다. 이어서 호, 부채꼴, 현, 활꼴, 활꼴 높이가 이름표가 붙은 원 위에 그려집니다.
원의 공식
| 구하는 값 | 공식 | 설명 |
|---|---|---|
| 지름 | d = 2r | 반지름의 두 배 |
| 원주 | C = 2πr = πd | 원을 한 바퀴 도는 거리 |
| 넓이 | A = πr² | 원 안쪽의 면 |
| 원주로 구한 반지름 | r = C / (2π) | C = 2πr을 정리한 식 |
| 넓이로 구한 반지름 | r = √(A / π) | A = πr²을 정리한 식 |
| 원주로 구한 넓이 | A = C² / (4π) | r = C / (2π)를 대입한 식 |
원주율 π는 어떤 원이든 원주와 지름의 비율이며, 약 3.14159입니다. π는 무리수이므로 대부분의 원 문제에서 정확한 답은 π를 포함한 형태로 씁니다 — 78.5398…이 아니라 25π처럼 — 그리고 반올림은 맨 마지막에만 합니다.
호, 부채꼴, 현, 활꼴
중심각 θ는 원을 여러 조각으로 나눕니다. 공식이 가장 간단하도록 θ는 라디안(180° = π 라디안)으로 재세요.
| 구간 | 공식 | 의미 |
|---|---|---|
| 호의 길이 | s = r × θ | 두 반지름 사이의 곡선 모서리 |
| 부채꼴 넓이 | ½ × r² × θ | 중심에서 호까지의 조각 |
| 현 | c = 2r × sin(θ / 2) | 호의 두 끝을 잇는 직선 |
| 활꼴 넓이 | ½ × r² × (θ − sin θ) | 현과 호 사이의 영역 |
| 활꼴 높이 (sagitta) | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | 활꼴의 높이 |
활꼴은 부채꼴에서 두 반지름과 현이 이루는 삼각형의 넓이 ½r² sin θ를 뺀 것입니다. 여기서 θ − sin θ가 나옵니다. θ가 180°보다 커도 공식은 그대로 성립합니다. 이때 “활꼴”은 더 큰 쪽 조각이며, 활꼴 높이는 반지름보다 커집니다.
실제 예시
- 반지름에서 출발. r = 5이면 d = 10, C = 10π ≈ 31.42, A = 25π ≈ 78.54입니다.
- 원주에서 출발. C = 10이면 r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1.59이고, A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7.96입니다. 10π로 입력하면 같은 원의 r은 5입니다.
- 반지름 3인 60° 부채꼴. θ = π/3이므로 호는 π ≈ 3.14, 부채꼴은 3π/2 ≈ 4.71, 현은 2 × 3 × sin 30° = 3입니다. 삼각형이 정삼각형이므로 현이 반지름과 같습니다.
- 이 부채꼴의 활꼴. 활꼴 넓이 = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0.82이고, 활꼴 높이는 3 − 3√3/2 ≈ 0.40입니다.
현과 활꼴을 정확한 형태로 쓸 수 있는 것은 sin(θ/2)와 sin θ가 정확한 값을 갖는 경우, 즉 각각 30°와 15°의 배수인 각일 때입니다. 50° 같은 다른 각에서는 호와 부채꼴은 여전히 정확하지만, 현과 활꼴은 소수로 주어집니다.
흔한 실수
- 반지름이 필요한 공식에 지름을 넣는 실수입니다. A = πr²이지 πd²가 아닙니다.
- s = rθ나 ½r²θ에 도(°) 단위를 그대로 넣는 실수입니다. 두 식은 라디안이 필요하며, 계산기가 변환해 줍니다.
- 부채꼴(중심까지 닿는 조각)과 활꼴(현으로 잘려 나간 부분)을 혼동하는 실수입니다.
- π를 3.14로 너무 일찍 반올림하는 실수입니다. 정확한 답 25π와 소수 78.54는 약 0.04 차이가 납니다.
자주 묻는 질문
- 원주로 원의 넓이를 어떻게 구하나요?
- 먼저 반지름을 구합니다. r = C / (2π)이고, 그다음 A = πr²을 씁니다. 두 식을 합치면 A = C² / (4π)입니다. 원주가 10이면 넓이는 100 / (4π) = 25/π, 약 7.96입니다.
- 반지름과 지름의 차이는 무엇인가요?
- 반지름은 중심에서 가장자리까지이고, 지름은 중심을 지나 원을 가로지르므로 d = 2r입니다. 넓이 공식은 반지름을, C = πd는 지름을 사용합니다.
- 원의 호의 길이는 어떻게 구하나요?
- 반지름에 중심각을 라디안으로 곱합니다: s = rθ. 각이 도(°)로 주어지면 전체 회전 중 차지하는 비율을 씁니다: s = (θ / 360°) × 2πr. 반지름 3인 원의 60° 호는 π 길이입니다.
- 부채꼴과 활꼴의 차이는 무엇인가요?
- 부채꼴은 두 반지름과 호로 둘러싸인 조각으로, 피자 한 조각과 같습니다. 활꼴은 현과 현이 잘라 낸 호 사이의 영역입니다. 활꼴은 부채꼴에서 두 반지름과 현이 이루는 삼각형을 뺀 것입니다.
- 현의 길이는 어떻게 구하나요?
- c = 2r × sin(θ / 2)이며, 여기서 θ는 중심각입니다. 대신 중심에서 현까지의 거리 d를 알고 있다면, 피타고라스 정리에 따라 c = 2√(r² − d²)입니다. 180°의 현은 지름입니다.
- 원 활꼴의 활꼴 높이(sagitta)는 무엇인가요?
- 활꼴 높이는 활꼴의 높이로, 현의 중점에서 호의 중점까지의 거리이며 h = r × (1 − cos(θ / 2))입니다. 아치나 렌즈의 “볼록한 정도”에 해당합니다.
- 계산기는 왜 소수 대신 π를 보여 주나요?
- π는 무리수이므로 어떤 소수도 근사값이며, 답의 구조도 가려 버립니다. 25π라고 쓰면 이후 계산에서도 답이 정확하게 유지되고, 측정에 쓸 숫자가 필요할 때를 위해 소수도 함께 보여 줍니다.