Calculateur de cercle
Saisissez l'un des éléments d'un cercle (rayon, diamètre, circonférence ou aire) et obtenez les trois autres, exacts en fonction de π, avec la valeur décimale et chaque étape. Ajoutez ensuite un angle au centre pour trouver la longueur d'arc, l'aire du secteur, la corde, le segment circulaire et la flèche, avec une figure annotée. Gratuit, sans inscription ; tout fonctionne dans votre navigateur.
Nombres entiers, décimaux et fractions comme 3/4. La circonférence et l'aire peuvent s'écrire comme un multiple de π, comme 10π, pour garder la réponse exacte.
Résultats
| Mesure | Exact | Décimal |
|---|---|---|
| Rayon (r) | 5 cm | 5 cm |
| Diamètre (d) | 10 cm | 10 cm |
| Circonférence (C) | 10π cm | 31,42 cm |
| Aire (A) | 25π cm² | 78,54 cm² |
Le calcul
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
Arc, secteur, corde et segment
Ces valeurs utilisent le rayon trouvé ci-dessus.
| Mesure | Exact | Décimal |
|---|---|---|
| Longueur d'arc (s) | 5π/3 cm | 5,24 cm |
| Aire du secteur | 25π/6 cm² | 13,09 cm² |
| Longueur de la corde (c) | 5 cm | 5 cm |
| Aire du segment | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2,26 cm² |
| Flèche (hauteur du segment) | 5 − 5√3/2 cm | 0,67 cm |
| Périmètre du secteur | 10 + 5π/3 cm | 15,24 cm |
| Périmètre du segment | 5 + 5π/3 cm | 10,24 cm |
Calcul de l'angle
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
Figure
Comment utiliser le calculateur de cercle
- 1. Indiquez ce que vous connaissez. Choisissez le rayon, le diamètre, la circonférence ou l'aire, puis saisissez la valeur. Les nombres entiers, les décimaux et les fractions comme 3/4 sont lus exactement.
- 2. Gardez un résultat exact avec π. Une circonférence ou une aire peut être saisie comme un multiple de π, comme 10π ou 25π, et le rayon ressort alors sous la forme d'un nombre simple. Saisie comme un nombre ordinaire, une circonférence de 10 donne r = 5/π.
- 3. Lisez les quatre mesures. Le rayon, le diamètre, la circonférence et l'aire apparaissent sous forme exacte et en décimales arrondies au nombre de décimales choisi, avec le calcul en dessous.
- 4. Ajoutez un angle au centre. Saisissez-le en degrés, ou en radians sous forme de multiple de π, comme pi/3. L'arc, le secteur, la corde, le segment et la flèche suivent, tracés sur un cercle annoté.
Formules du cercle
| Pour trouver | Formule | Remarques |
|---|---|---|
| Diamètre | d = 2r | Deux fois le rayon |
| Circonférence | C = 2πr = πd | La distance autour du cercle |
| Aire | A = πr² | La surface à l'intérieur |
| Rayon à partir de la circonférence | r = C / (2π) | Réarrange C = 2πr |
| Rayon à partir de l'aire | r = √(A / π) | Réarrange A = πr² |
| Aire à partir de la circonférence | A = C² / (4π) | Remplace r par C / (2π) |
Le nombre π est le rapport entre la circonférence de n'importe quel cercle et son diamètre, soit environ 3,14159. Il est irrationnel : la réponse exacte à la plupart des problèmes de cercle s'écrit donc avec π — 25π plutôt que 78,5398… — et n'est arrondie qu'à la fin.
Arc, secteur, corde et segment
Un angle au centre θ découpe le cercle en plusieurs parties. Mesurez θ en radians (180° = π radians) pour obtenir les formules les plus simples.
| Élément | Formule | Ce que c'est |
|---|---|---|
| Longueur d'arc | s = r × θ | La ligne courbe entre les deux rayons |
| Aire du secteur | ½ × r² × θ | La portion du disque entre le centre et l'arc |
| Corde | c = 2r × sin(θ / 2) | La droite qui joint les extrémités de l'arc |
| Aire du segment | ½ × r² × (θ − sin θ) | La région comprise entre la corde et l'arc |
| Flèche | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | La hauteur du segment |
Le segment est le secteur moins le triangle formé par les deux rayons et la corde, dont l'aire est ½r² sin θ — d'où vient θ − sin θ. Pour θ supérieur à 180°, les formules restent valables : le « segment » est alors la plus grande partie, et sa flèche dépasse le rayon.
Exemples détaillés
- À partir du rayon. r = 5 donne d = 10, C = 10π ≈ 31,42 et A = 25π ≈ 78,54.
- À partir d'une circonférence. C = 10 donne r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1,59, et A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7,96. Saisie sous la forme 10π, la même circonférence donne r = 5.
- Un secteur de 60° et de rayon 3. θ = π/3, donc l'arc vaut π ≈ 3,14, le secteur vaut 3π/2 ≈ 4,71 et la corde vaut 2 × 3 × sin 30° = 3 — égale au rayon, car le triangle est équilatéral.
- Son segment. Aire du segment = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0,82, et la flèche vaut 3 − 3√3/2 ≈ 0,40.
Les cordes et segments exacts apparaissent lorsque sin(θ/2) et sin θ ont une forme fermée, c'est-à-dire pour des angles multiples de 30° et de 15° respectivement. Pour d'autres angles, comme 50°, l'arc et le secteur restent exacts, mais la corde et le segment sont donnés en décimales.
Erreurs courantes
- Utiliser le diamètre dans une formule qui demande le rayon : A = πr², et non πd².
- Calculer avec des degrés dans s = rθ ou ½r²θ, qui exigent des radians ; le calculateur fait la conversion pour vous.
- Confondre le secteur (une part qui atteint le centre) et le segment (la calotte découpée par une corde).
- Arrondir π à 3,14 trop tôt : la réponse exacte 25π et la valeur décimale 78,54 diffèrent d'environ 0,04.
Questions fréquentes
- Comment trouver l'aire d'un cercle à partir de sa circonférence ?
- Trouvez d'abord le rayon, r = C / (2π), puis utilisez A = πr². En combinant les deux, on obtient A = C² / (4π). Une circonférence de 10 donne une aire de 100 / (4π) = 25/π, soit environ 7,96.
- Quelle est la différence entre le rayon et le diamètre ?
- Le rayon va du centre au bord ; le diamètre traverse tout le cercle en passant par le centre, donc d = 2r. Les formules d'aire utilisent le rayon, tandis que C = πd utilise le diamètre.
- Comment calculer la longueur d'arc d'un cercle ?
- Multipliez le rayon par l'angle au centre en radians : s = rθ. Si l'angle est en degrés, prenez la fraction d'un tour complet : s = (θ / 360°) × 2πr. Un arc de 60° d'un cercle de rayon 3 mesure π.
- Quelle est la différence entre un secteur et un segment ?
- Un secteur est la part délimitée par deux rayons et l'arc, comme une part de tarte. Un segment est la région comprise entre une corde et l'arc qu'elle découpe. Le segment est le secteur moins le triangle formé par les deux rayons et la corde.
- Comment calculer la longueur d'une corde ?
- c = 2r × sin(θ / 2), où θ est l'angle au centre. Si vous connaissez plutôt la distance d de la corde au centre, c = 2√(r² − d²), par le théorème de Pythagore. Une corde de 180° est un diamètre.
- Qu'est-ce que la flèche d'un segment circulaire ?
- La flèche est la hauteur du segment : la distance entre le milieu de la corde et le milieu de l'arc, h = r × (1 − cos(θ / 2)). C'est la « bosse » d'une arche ou d'une lentille.
- Pourquoi le calculateur affiche-t-il π au lieu d'une décimale ?
- Parce que π est irrationnel, toute décimale est une approximation, et cela masque la structure du résultat. Écrire 25π garde le résultat exact pour la suite ; la décimale figure à côté, pour quand vous avez besoin d'un nombre à mesurer.