حاسبة الدائرة
أدخل أيًّا من نصف قطر الدائرة أو قطرها أو محيطها أو مساحتها، واحصل على الثلاثة الأخرى — بدقة بدلالة π، مع الصورة العشرية وكل خطوة. ثم أضف زاوية مركزية لتحسب طول القوس ومساحة القطاع والوتر والقطعة الدائرية وارتفاع القطعة، مع شكل موسوم. مجانية، دون تسجيل؛ وتعمل داخل متصفحك.
أعداد صحيحة وعشرية وكسور مثل 3/4. ويمكن كتابة المحيط والمساحة مضاعفًا لـ π، مثل 10π، للحفاظ على الإجابة دقيقة.
النتائج
| القياس | الصورة الدقيقة | عشرية |
|---|---|---|
| نصف القطر (r) | 5 cm | 5 cm |
| القطر (d) | 10 cm | 10 cm |
| المحيط (C) | 10π cm | 31.42 cm |
| المساحة (A) | 25π cm² | 78.54 cm² |
الحساب
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
القوس والقطاع والوتر والقطعة
تستخدم هذه الأجزاء نصف القطر الذي وُجد أعلاه.
| القياس | الصورة الدقيقة | عشرية |
|---|---|---|
| طول القوس (s) | 5π/3 cm | 5.24 cm |
| مساحة القطاع | 25π/6 cm² | 13.09 cm² |
| طول الوتر (c) | 5 cm | 5 cm |
| مساحة القطعة | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2.26 cm² |
| ارتفاع القطعة (sagitta) | 5 − 5√3/2 cm | 0.67 cm |
| محيط القطاع | 10 + 5π/3 cm | 15.24 cm |
| محيط القطعة | 5 + 5π/3 cm | 10.24 cm |
حساب الزاوية
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
الشكل
كيفية استخدام حاسبة الدائرة
- 1. حدِّد ما تعرفه. اختر نصف القطر أو القطر أو المحيط أو المساحة، واكتب القيمة. تُقرأ الأعداد الصحيحة والعشرية والكسور مثل 3/4 بدقة.
- 2. حافظ على الدقة بـ π. يمكن كتابة المحيط أو المساحة مضاعفًا لـ π، مثل 10π أو 25π، فيخرج نصف القطر عددًا نظيفًا. وإن كتبته عددًا عاديًا، فإن محيطًا قيمته 10 يعطي r = 5/π.
- 3. اقرأ المقادير الأربعة. تظهر أنصاف الأقطار والأقطار والمحيطات والمساحات في الصورة الدقيقة وفي صورة عشرية مقرّبة إلى المنازل التي تختارها، مع الحساب أسفلها.
- 4. أضف زاوية مركزية. اكتبها بالدرجات، أو بالراديان كمضاعف لـ π مثل pi/3. ثم تظهر الأقواس والقطاع والوتر والقطعة وارتفاعها، مرسومة على دائرة موسومة.
صيغ الدائرة
| المطلوب | الصيغة | ملاحظات |
|---|---|---|
| القطر | d = 2r | ضعف نصف القطر |
| المحيط | C = 2πr = πd | المسافة حول الدائرة |
| المساحة | A = πr² | السطح داخل الدائرة |
| نصف القطر من المحيط | r = C / (2π) | إعادة ترتيب C = 2πr |
| نصف القطر من المساحة | r = √(A / π) | إعادة ترتيب A = πr² |
| المساحة من المحيط | A = C² / (4π) | بالتعويض عن r = C / (2π) |
العدد π هو نسبة محيط أي دائرة إلى قطرها، وقيمته نحو 3.14159. وهو عدد غير نسبي، لذا تُكتب الإجابة الدقيقة لمعظم مسائل الدائرة بوجود π فيها — مثل 25π بدلًا من 78.5398… — ولا تُقرَّب إلا في النهاية.
القوس والقطاع والوتر والقطعة
تقسّم الزاوية المركزية θ الدائرة إلى أجزاء. قِس θ بالراديان (180° = π راديان) للحصول على أبسط الصيغ.
| الجزء | الصيغة | ماهيته |
|---|---|---|
| طول القوس | s = r × θ | الحافة المنحنية بين نصفي القطرين |
| مساحة القطاع | ½ × r² × θ | الشريحة من المركز إلى القوس |
| الوتر | c = 2r × sin(θ / 2) | الخط المستقيم الواصل بين طرفي القوس |
| مساحة القطعة | ½ × r² × (θ − sin θ) | المنطقة بين الوتر والقوس |
| السهم (sagitta) | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | ارتفاع القطعة |
القطعة هي القطاع ناقص المثلث المكوَّن من نصفي القطرين والوتر، ومساحته ½r² sin θ — ومن هنا يأتي الحد θ − sin θ. وتظل الصيغ صحيحة لزاوية أكبر من 180°: فتصبح «القطعة» هي الجزء الأكبر، ويتجاوز سهمها نصف القطر.
أمثلة تطبيقية
- من نصف القطر. r = 5 تعطي d = 10، و C = 10π ≈ 31.42، و A = 25π ≈ 78.54.
- من المحيط. C = 10 تعطي r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1.59، و A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7.96. وإذا كُتبت 10π فإن الدائرة نفسها يكون لها r = 5.
- قطاع 60° نصف قطره 3. θ = π/3، فالقوس π ≈ 3.14، والقطاع 3π/2 ≈ 4.71، والوتر 2 × 3 × sin 30° = 3 — مساويًا لنصف القطر، لأن المثلث متساوي الأضلاع.
- قطعته. مساحة القطعة = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0.82، والسهم 3 − 3√3/2 ≈ 0.40.
تظهر الأوتار والقطع الدقيقة عندما يكون لـ sin(θ/2) و sin θ صورة مغلقة، أي للزوايا التي هي مضاعفات لـ 30° و15° بالترتيب. أما الزوايا الأخرى، مثل 50°، فيبقى القوس والقطاع دقيقين، بينما يُعطى الوتر والقطعة عشريًّا.
أخطاء شائعة
- استخدام القطر في صيغة تحتاج نصف القطر: A = πr²، لا πd².
- الحساب بالدرجات في s = rθ أو ½r²θ، وهما يحتاجان إلى الراديان؛ والحاسبة تحوّل الوحدة عنك.
- الخلط بين القطاع (الشريحة التي تصل إلى المركز) والقطعة (الغطاء المقطوع بوتر).
- تقريب π إلى 3.14 مبكرًا: فالإجابة الدقيقة 25π والعشرية 78.54 تختلفان بنحو 0.04.
الأسئلة الشائعة
- كيف تجد مساحة الدائرة من محيطها؟
- أوجد أولًا نصف القطر r = C / (2π)، ثم استخدم A = πr². وبالجمع بينهما تحصل على A = C² / (4π). فمحيط قيمته 10 يعطي مساحة 100 / (4π) = 25/π، أي نحو 7.96.
- ما الفرق بين نصف القطر والقطر؟
- نصف القطر يمتد من المركز إلى الحافة، أما القطر فيمتد عبر الدائرة كلها مارًّا بالمركز، لذا d = 2r. تستخدم صيغ المساحة نصف القطر، بينما يستخدم C = πd القطر.
- كيف تجد طول قوس الدائرة؟
- اضرب نصف القطر في الزاوية المركزية بالراديان: s = rθ. وإن كانت الزاوية بالدرجات، فخذ جزءًا من الدورة الكاملة: s = (θ / 360°) × 2πr. وطول قوس 60° في دائرة نصف قطرها 3 هو π.
- ما الفرق بين القطاع والقطعة؟
- القطاع هو الشريحة المحدودة بنصفي قطرين والقوس، كشريحة البيتزا. أما القطعة فهي المنطقة بين وتر والقوس الذي يقطعه. والقطعة هي القطاع ناقص المثلث المكوَّن من نصفي القطرين والوتر.
- كيف تجد طول الوتر؟
- c = 2r × sin(θ / 2)، حيث θ هي الزاوية المركزية. وإن كنت تعرف بُعد الوتر d عن المركز بدلًا من ذلك، فإن c = 2√(r² − d²) بنظرية فيثاغورس. والوتر الذي زاويته 180° هو القطر.
- ما السهم في القطعة الدائرية؟
- السهم هو ارتفاع القطعة: المسافة من منتصف الوتر إلى منتصف القوس، h = r × (1 − cos(θ / 2)). وهو «انحناء» القوس أو العدسة.
- لماذا تعرض الحاسبة π بدلًا من عدد عشري؟
- لأن π عدد غير نسبي، فأي عدد عشري تقريب، وهو يُخفي أيضًا بنية الإجابة. فكتابة 25π تُبقي النتيجة دقيقة للحسابات اللاحقة، والعدد العشري معروض بجانبها لوقت تحتاج فيه إلى رقم تقيس به.