كيف أجد المشتقة خطوة بخطوة؟

حدّد البنية الخارجية للعبارة وطبّق القاعدة المناسبة لها: قسّم المجاميع حدًا حدًا، وأخرج الثوابت المضروبة، واستعمل قاعدة الضرب أو القسمة حين يعتمد جزآن مضروبان أو مقسومان كلاهما على المتغير، وقاعدة السلسلة حين تكون الدالة داخل دالة أخرى ليس داخلها x وحدها. ثم كرر ذلك على كل جزء. والحل أعلاه يتبع الترتيب نفسه، من الخارج إلى الداخل.

متى أستعمل قاعدة السلسلة ومتى قاعدة الضرب؟

استعمل قاعدة الضرب حين يعتمد عاملان مضروبان معًا على x، كما في x² sin x. واستعمل قاعدة السلسلة حين تقع دالة داخل أخرى، كما في sin(x²) أو e^(3x). وكثير من المسائل يحتاج القاعدتين معًا، مثل x² sin(3x).

ما فائدة المشتقة الثانية؟

هي مشتقة المشتقة، فتقيس مدى سرعة تغيّر الميل نفسه. والمشتقة الثانية الموجبة تعني أن الرسم مقعّر إلى أعلى (ينحني كالكوب)، والسالبة تعني مقعّرًا إلى أسفل. وعند نقطة تكون فيها f′ = 0، تميّز إشارة f″ بين العظمى والصغرى.

هل يمكنني حساب مشتقة جزئية؟

نعم، بالمعنى الذي يهم في الحساب. اكتب الدالة بعدة حروف، مثل x^2 y + sin(y x)، واختر المتغير الذي تشتق بالنسبة إليه؛ وتُعامَل الحروف الأخرى ثوابت. ويُخفى الرسم للدوال التي تضم أكثر من متغير.

لماذا مشتقة |x| غير معرّفة عند 0؟

لرسم |x| زاوية حادة عند نقطة الأصل: الميل −1 يسار الصفر و+1 يمينه، فلا يوجد مماس واحد. وبعيدًا عن 0 تكون المشتقة x/|x|، أي −1 لقيم x السالبة و+1 لقيم x الموجبة.

هل log هو اللوغاريتم الطبيعي أم الأساس 10؟

هنا تعني log الأساس 10 كما في الآلة الحاسبة العلمية، وln هي اللوغاريتم الطبيعي. وتختلف الكتب في ذلك، فتحقق من كتابك. ولأي أساس آخر اكتب log(x, b). ومشتقة log(x) هي 1/(x ln 10)، ومشتقة ln(x) هي 1/x.

لماذا تبدو إجابتي مختلفة عن إجابة الكتاب؟

يمكن كتابة العبارات المتكافئة بأشكال كثيرة، فـ (x + 1)eˣ و xeˣ + eˣ هما الدالة نفسها. وإذا اختلف الشكل فقوّم الصيغتين عند نقطة أو نقطتين، فقيم النقطة التي تختارها تتيح لك ذلك، بدلًا من افتراض أن إحداهما خاطئة.

حاسبة المشتقة

اكتب دالة واحصل على مشتقتها رمزيًا — مبسّطة، مع ذكر القاعدة عند كل خطوة (القوة، الضرب، القسمة، السلسلة، الأسية) — حتى المشتقة الخامسة، وقيمتها عند أي نقطة تختارها، ورسم للدالة بجانب مشتقتها. تعمل بالكامل داخل متصفحك. مجانية، دون تسجيل.

الدالة المراد اشتقاقها

استعمل + − * / ^ والأقواس. تُضرب 2x و x sin x و (x+1)(x−1) ضربًا. الدوال: sin, cos, tan, sec, csc, cot, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, ln, log (الأساس 10), sqrt, abs. الثوابت: pi وe. تُكتب الكسور العشرية بنقطة.

رتبة المشتقة

احسب عند x = (اختياري)

عدد أو ثابت مثل 2 أو −1.5 أو pi/4.

ارسم من x =

إلى x =

النتائج

تُقرأ كـ: $f (x) = x^{2} \sin (x)$

المشتقة

f^{'} (x) = 2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)

عند x = 1

sin(1) ≈ 0.84147098

f(x)

2sin(1) + cos(1) ≈ 2.2232443

f′(x)

خطوات الحل

يشتق كل سطر جزءًا واحدًا من العبارة، من الخارج إلى الداخل، ويذكر القاعدة المستعملة.

قاعدة الضرب
(uv)′ = u′v + uv′، مع u = x² وv = sin(x). وهنا u′ = 2x وv′ = cos(x).
d/dx[x² sin(x)] = 2x sin(x) + x² cos(x)
قاعدة القوة
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹، وهنا n = 2: ننزل الأس ونخفضه بمقدار 1.
d/dx[x²] = 2x
المشتقة القياسية
المشتقة القياسية لـ sin(x) هي cos(x).
d/dx[sin(x)] = cos(x)

الرسم البياني

f(x) (الدالة)
f′(x) (المشتقة)

كيفية استخدام حاسبة المشتقة

1. اكتب الدالة. اكتبها كما تكتبها على الورق: 3x^4 - 2x^2 + 7x، أو x^2 sin(x)، أو (x^2+1)/(x-1)، أو e^(-x^2). يمكن حذف علامة الضرب بين عدد أو حرف وما يليه، فتعمل 2x وx sin x.
2. اختر المتغير والرتبة. تُؤخذ المشتقة بالنسبة إلى x ما لم تختر حرفًا آخر، وتُعامَل كل الحروف الأخرى ثوابت. والرتبة 2 تعطي المشتقة الثانية، وهكذا حتى 5.
3. أضف نقطة إن أردت عددًا. أدخل 2 أو -1.5 أو pi/4 لتحصل على الدالة ومشتقتها مقدّرتين عند تلك النقطة، بصورة دقيقة حيث يسمح الجبر (مثل 1/2 أو 2sin(1) + cos(1))، وكعدد عشري.
4. اقرأ الحل. تظهر الإجابة أولًا، ثم كل مشتقة حتى الرتبة التي اخترتها، ثم سطر لكل عبارة جزئية يذكر القاعدة المستعملة والمشتقة التي أنتجتها.

القواعد التي تطبّقها الحاسبة

القاعدة	الصيغة	مثال
مضاعف الثابت	(c·g)′ = c·g′	(5x³)′ = 15x²
المجموع	(f + g)′ = f′ + g′	(x² + sin x)′ = 2x + cos x
القوة	(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹	(x⁵)′ = 5x⁴، (√x)′ = 1/(2√x)
الضرب	(uv)′ = u′v + uv′	(x² sin x)′ = 2x sin x + x² cos x
القسمة	(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²	(sin x / x)′ = (x cos x − sin x)/x²
السلسلة	(f(u))′ = f′(u)·u′	(sin x²)′ = 2x cos x²
الدالة الأسية	(aᵘ)′ = aᵘ·ln a·u′	(2ˣ)′ = 2ˣ ln 2، (e^(−x²))′ = −2x e^(−x²)
القوة العامة	(uᵛ)′ = uᵛ(v′ ln u + v u′/u)	(xˣ)′ = xˣ(ln x + 1)

المشتقات القياسية التي تعرفها: sin وcos وtan وsec وcsc وcot وasin وacos وatan وsinh وcosh وtanh وln وlog (الأساس 10) وsqrt وabs.

أمثلة تطبيقية

الضرب والسلسلة معًا. للدالة f(x) = x² sin(x)، تعطي قاعدة الضرب، مع u = x² وv = sin x، الناتج u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. وعند x = 1 يساوي ذلك 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2.2232443. وللدالة f(x) = sin(x²) الدالة الخارجية هي الجيب، والداخلية u = x²، فتكون f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

قاعدة القسمة، ثم الرتب العليا. للدالة f(x) = (x² + 1)/(x − 1) يكون u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1، فتكون f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². وعند x = 3 تساوي 2/4 = 1/2. وعند اشتقاق المشتقة مرة أخرى يحوي بسط المشتقة الثانية عاملًا (x − 1) يُختصر، فتبقى f″(x) = 4/(x − 1)³ — وتختصر الحاسبة هذه العوامل حتى تخرج المشتقات العليا في صورتها المختصرة.

كيف تُقرأ مدخلاتك

الضرب. 2x و3(x+1) و(x+1)(x-1) وx sin x تعني ضربًا. ولا يمكن أن يلي الحرف أو القوس عددٌ مجرد (x2 مرفوضة ولا تُخمَّن): اكتب x*2 أو 2x.
القسمة. يتساوى الضرب الضمني مع * و/ في الأولوية، من اليسار إلى اليمين، فـ 1/2x تعني (1/2)·x. اكتب 1/(2x) للقراءة الأخرى. ويوضح سطر «تُقرأ كـ» بدقة ما فُهم.
القوى. -x^2 تعني −(x²)، و2^-x تعني 2 مرفوعًا إلى −x، وa^b^c تعني a^(b^c). وsin^2(x) تعني (sin x)². أما sin^-1(x) فمرفوضة لالتباسها — اكتب asin(x) أو 1/sin(x).
الدوال بلا أقواس. sin x وln x^2 (أي لوغاريتم x²) وsin 2x تأخذ وسيطًا بسيطًا واحدًا، وsin x (x+1) تعني sin(x) مضروبًا في (x+1).
الأسماء. المتغيرات حروف مفردة، وe هو عدد أويلر، وpi أو π هو π، وexp(x) تعني eˣ، وln هو اللوغاريتم الطبيعي، وlog هو الأساس 10. وlog(x, 2) لوغاريتم أساسه 2. والزوايا بالراديان.

ما ينبغي تذكره

تُختصر النتائج إلى صيغة متعارف عليها — فتُجمع الحدود المتشابهة، وتُفك كثيرات الحدود، وتُخرج العوامل المشتركة، وتُختصر العوامل المشتركة بين البسط والمقام — لكن قد تكون إجابة تبدو مختلفة صحيحة مع ذلك. تحقق بتقويم الصيغتين عند نقطة. واختصار عامل مثل (x − 1) قد يوسّع النطاق بهدوء عند x = 1، كما في أي نظام جبري، لذلك لا تُعطى المشتقة إلا حيث تكون الدالة الأصلية معرّفة.

مشتقة |u| هي u·u′/|u|، وهي غير موجودة حيث u = 0، ويُظهر الرسم الزاوية هناك. وتشتق الأداة الدوال الصريحة لمتغير واحد تختاره، وتعامل الحروف الأخرى ثوابت (وهكذا تُؤخذ المشتقة الجزئية)، ولا تُجري الاشتقاق الضمني.

الأسئلة الشائعة

كيف أجد المشتقة خطوة بخطوة؟: حدّد البنية الخارجية للعبارة وطبّق القاعدة المناسبة لها: قسّم المجاميع حدًا حدًا، وأخرج الثوابت المضروبة، واستعمل قاعدة الضرب أو القسمة حين يعتمد جزآن مضروبان أو مقسومان كلاهما على المتغير، وقاعدة السلسلة حين تكون الدالة داخل دالة أخرى ليس داخلها x وحدها. ثم كرر ذلك على كل جزء. والحل أعلاه يتبع الترتيب نفسه، من الخارج إلى الداخل.
متى أستعمل قاعدة السلسلة ومتى قاعدة الضرب؟: استعمل قاعدة الضرب حين يعتمد عاملان مضروبان معًا على x، كما في x² sin x. واستعمل قاعدة السلسلة حين تقع دالة داخل أخرى، كما في sin(x²) أو e^(3x). وكثير من المسائل يحتاج القاعدتين معًا، مثل x² sin(3x).
ما فائدة المشتقة الثانية؟: هي مشتقة المشتقة، فتقيس مدى سرعة تغيّر الميل نفسه. والمشتقة الثانية الموجبة تعني أن الرسم مقعّر إلى أعلى (ينحني كالكوب)، والسالبة تعني مقعّرًا إلى أسفل. وعند نقطة تكون فيها f′ = 0، تميّز إشارة f″ بين العظمى والصغرى.
هل يمكنني حساب مشتقة جزئية؟: نعم، بالمعنى الذي يهم في الحساب. اكتب الدالة بعدة حروف، مثل x^2 y + sin(y x)، واختر المتغير الذي تشتق بالنسبة إليه؛ وتُعامَل الحروف الأخرى ثوابت. ويُخفى الرسم للدوال التي تضم أكثر من متغير.
لماذا مشتقة |x| غير معرّفة عند 0؟: لرسم |x| زاوية حادة عند نقطة الأصل: الميل −1 يسار الصفر و+1 يمينه، فلا يوجد مماس واحد. وبعيدًا عن 0 تكون المشتقة x/|x|، أي −1 لقيم x السالبة و+1 لقيم x الموجبة.
هل log هو اللوغاريتم الطبيعي أم الأساس 10؟: هنا تعني log الأساس 10 كما في الآلة الحاسبة العلمية، وln هي اللوغاريتم الطبيعي. وتختلف الكتب في ذلك، فتحقق من كتابك. ولأي أساس آخر اكتب log(x, b). ومشتقة log(x) هي 1/(x ln 10)، ومشتقة ln(x) هي 1/x.
لماذا تبدو إجابتي مختلفة عن إجابة الكتاب؟: يمكن كتابة العبارات المتكافئة بأشكال كثيرة، فـ (x + 1)eˣ و xeˣ + eˣ هما الدالة نفسها. وإذا اختلف الشكل فقوّم الصيغتين عند نقطة أو نقطتين، فقيم النقطة التي تختارها تتيح لك ذلك، بدلًا من افتراض أن إحداهما خاطئة.