Calculadora de derivadas

Resultados

Ler como: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

Como usar a calculadora de derivadas

1. 1. Digite a função. Escreva como faria no papel: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). A multiplicação pode ser omitida entre um número ou uma letra e o que vem depois, então 2x e x sin x funcionam.
2. 2. Escolha a variável e a ordem. A derivada é tomada em relação a x, a menos que você escolha outra letra; todas as outras letras são tratadas como constantes. A ordem 2 dá a segunda derivada, e assim por diante até 5.
3. 3. Acrescente um ponto, se quiser um número. Informe 2, -1.5 ou pi/4 para obter a função e sua derivada avaliadas ali, de forma exata sempre que a álgebra permitir (1/2, 2sin(1) + cos(1)), e também como decimal.
4. 4. Leia o cálculo. A resposta aparece primeiro, depois todas as derivadas até a ordem escolhida e, em seguida, uma linha por subexpressão, nomeando a regra usada e a derivada que ela produziu.

As regras aplicadas pela calculadora

Exemplos resolvidos

Regra do produto e da cadeia juntas. Para f(x) = x² sin(x), a regra do produto com u = x² e v = sin x dá u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. Em x = 1, isso é 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443. Para f(x) = sin(x²), a função externa é o seno e o interior é u = x², então f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Regra do quociente, depois ordens superiores. Para f(x) = (x² + 1)/(x − 1), u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, então f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². Em x = 3, isso dá 2/4 = 1/2. Derivando de novo, o numerador da segunda derivada tem um fator (x − 1) que se cancela, restando f″(x) = 4/(x − 1)³ — a calculadora cancela esses fatores para que as derivadas superiores saiam na forma curta.

Como a sua entrada é lida

• Multiplicação. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) e x sin x multiplicam. Um número isolado não pode vir depois de uma letra ou de um parêntese (x2 é recusado, não adivinhado): escreva x*2 ou 2x.
• Divisão. A multiplicação implícita tem a mesma precedência de * e /, da esquerda para a direita; assim, 1/2x significa (1/2)·x. Escreva 1/(2x) para a outra leitura. A linha “Ler como” mostra exatamente o que foi entendido.
• Potências. -x^2 é −(x²), 2^-x é 2 elevado a −x, e a^b^c é a^(b^c). sin^2(x) significa (sin x)². sin^-1(x) é recusado por ser ambíguo — digite asin(x) ou 1/sin(x).
• Funções sem parênteses. sin x, ln x^2 (isto é, ln de x²) e sin 2x recebem um argumento simples; sin x (x+1) é sin(x) vezes (x+1).
• Nomes. As variáveis são letras isoladas, e é o número de Euler, pi ou π é π, exp(x) é eˣ, ln é o logaritmo natural e log é o de base 10. log(x, 2) é o logaritmo de base 2. Os ângulos são em radianos.

O que ter em mente

Os resultados são simplificados para uma forma convencional — termos semelhantes reunidos, polinômios expandidos, fatores comuns colocados em evidência e cancelados entre numerador e denominador —, mas uma resposta de aparência diferente ainda pode estar correta. Confira avaliando as duas em um ponto. Cancelar um fator como (x − 1) pode alargar discretamente o domínio em x = 1, como em qualquer sistema de álgebra; por isso, uma derivada só é afirmada onde a função original está definida.

A derivada de |u| é u·u′/|u|, que não existe onde u = 0; o gráfico mostra o canto. A ferramenta deriva funções explícitas de uma variável escolhida, tratando as outras letras como constantes (é assim que se calcula uma derivada parcial); ela não faz derivação implícita.

Perguntas frequentes

Como encontrar uma derivada passo a passo?

Identifique a estrutura mais externa da expressão e aplique a regra correspondente: separe as somas termo a termo, retire os fatores constantes, use a regra do produto ou do quociente quando duas partes contêm a variável, e a regra da cadeia quando uma função tem algo diferente de x dentro dela. Depois repita em cada pedaço. O cálculo acima segue exatamente essa ordem, da parte mais externa para a mais interna.

Quando usar a regra da cadeia e quando usar a regra do produto?

Use a regra do produto quando dois fatores multiplicados entre si dependem de x, como em x² sin x. Use a regra da cadeia quando uma função está dentro de outra, como em sin(x²) ou e^(3x). Muitos problemas exigem as duas, como x² sin(3x).

Para que serve a segunda derivada?

Ela é a derivada da derivada, então mede a rapidez com que a própria inclinação muda. Uma segunda derivada positiva significa que o gráfico tem concavidade para cima (curvando-se como uma taça); uma negativa, concavidade para baixo. Em um ponto onde f′ = 0, o sinal de f″ distingue um máximo de um mínimo.

Posso calcular uma derivada parcial?

Sim, no sentido que importa para calculá-la. Digite a função com várias letras, como x^2 y + sin(y x), e escolha a variável em relação à qual derivar; as outras letras são mantidas constantes. O gráfico fica oculto para funções de mais de uma variável.

Por que a derivada de |x| é indefinida em 0?

O gráfico de |x| tem um canto agudo na origem: a inclinação é −1 logo à esquerda e +1 logo à direita, então não há uma única reta tangente. Longe de 0, a derivada é x/|x|, que vale −1 para x negativo e +1 para x positivo.

O log é o logaritmo natural ou o de base 10?

Aqui log é de base 10, como em uma calculadora científica, e ln é o logaritmo natural; as disciplinas diferem nisso, então confira o seu livro. Para qualquer outra base, digite log(x, b). A derivada de log(x) é 1/(x ln 10), e a de ln(x) é 1/x.

Por que a minha resposta parece diferente da do livro?

Expressões equivalentes podem ser escritas de muitas formas: (x + 1)eˣ e xeˣ + eˣ são a mesma função. Se a forma for diferente, avalie as duas em um ou dois pontos — os valores no ponto escolhido permitem isso — em vez de supor que uma delas está errada.