Calculadora de integral definida

Resultados

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

Como usar a calculadora de integral definida

1. 1. Digite a função. Use x como variável: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). A multiplicação pode ser omitida, então 2x e x sin x funcionam.
2. 2. Insira os limites. Use números ou constantes como 0, -2 ou pi/2. Para uma integral imprópria, digite inf ou -inf para um limite infinito.
3. 3. Leia o valor e o erro. O erro absoluto estimado indica quantos dos algarismos impressos você pode confiar. Se f mudar de sinal, a área total sem sinal ∫|f| é mostrada ao lado da área líquida com sinal.
4. 4. Confira as observações e o gráfico. Qualquer singularidade, limite infinito ou problema de convergência é informado em palavras simples, e o gráfico sombreia a área acima do eixo (azul) e abaixo dele (laranja).

Como a integral é calculada

O método padrão é a quadratura adaptativa de Gauss–Kronrod, o esquema por trás do QUADPACK. Em cada subintervalo, uma regra de Gauss de 7 pontos e uma regra de Kronrod de 15 pontos são avaliadas em pontos aninhados; o valor de Kronrod é a estimativa, e a diferença entre os dois é a estimativa de erro. O subintervalo com o maior erro é dividido em dois, e o processo se repete até que o erro total fique abaixo de 10⁻¹⁰ do resultado (ou 10⁻¹² em valor absoluto). Para funções suaves, isso normalmente dá de 12 a 14 algarismos corretos com algumas centenas de avaliações ou menos.

Um limite infinito é levado para [0, 1) com x = a + t/(1 − t). Quando f não é finito em um extremo, como ln x ou 1/√x em 0, a calculadora passa para a quadratura tanh–sinh (dupla-exponencial), que lida com singularidades integráveis nos extremos; esses resultados são informados com cerca de oito algarismos. Veja a Digital Library of Mathematical Functions do NIST, §3.5 para a base teórica da quadratura.

Exemplos práticos

Singularidades, divergência e seus avisos

• Singularidade integrável. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 e ∫₀¹ ln x dx = −1 são finitas, embora o integrando divirja em 0. A calculadora registra o extremo impróprio e usa a regra tanh–sinh.
• Divergência. Para ∫₀¹ 1/x dx, a área continua crescendo à medida que você para mais perto de 0. A ferramenta testa isso integrando até pontos cada vez mais próximos do ponto problemático; se os incrementos não diminuírem, ela informa divergência em vez de um valor. O mesmo teste recusa ∫₋₁¹ 1/x dx: suas duas metades se cancelam (um valor principal de 0), mas cada uma diverge por si só, então a integral não existe.
• Não real em parte do intervalo. ∫₋₁¹ √x dx não tem valor, já que √x não é real para x negativo. A calculadora indica o ponto onde f deixa de estar definida.
• Picos estreitos. Qualquer regra numérica pode deixar passar uma característica muito mais estreita que o espaçamento das amostras. O intervalo é primeiro dividido em oito painéis para ajudar, mas se você suspeitar de um pico, divida a integral nesse ponto por conta própria.

Perguntas frequentes

O que uma integral definida representa?

É a área líquida com sinal entre a curva y = f(x) e o eixo x de a até b: a área acima do eixo conta como positiva, e a abaixo, como negativa. Ela também é igual à variação acumulada de qualquer grandeza cuja taxa de variação é f(x), pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Por que a integral dá 0, mas a área não é 0?

Para sin x em [0, 2π], a parte acima do eixo e a parte abaixo se cancelam, então a integral líquida é 0, mas a área geométrica é 4. A calculadora mostra as duas sempre que a função muda de sinal: a integral de |f| dá a área total.

Quão preciso é o resultado?

Para funções suaves, a estimativa de erro costuma ser da ordem de 10⁻¹³ ou menor, e o valor é informado com dez algarismos significativos. Para integrais impróprias e limites infinitos, a precisão informada é de cerca de oito algarismos. O erro mostrado é uma estimativa do erro numérico, e não um limite matematicamente garantido.

O que é uma integral imprópria?

Uma integral com limite infinito, ou em que o integrando é ilimitado em um ponto do intervalo. Ela é definida como um limite e converge somente se esse limite for finito: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 converge, mas ∫₁^∞ 1/x dx não.

Ela pode dar a primitiva?

Não. Ela avalia a integral numericamente, o que também funciona para funções sem primitiva elementar, como e^(−x²) ou sin(x)/x. A Derivative Calculator é a ferramenta para trabalho simbólico com passos.

Como integro sin(x)/x passando por 0?

Basta digitá-la com limites que contenham 0, como −1 a 1. A função não está definida exatamente em 0, mas tem limite 1 ali, e o intervalo é dividido de modo que o ponto em si nunca é amostrado; o resultado é 1,892166141, que é 2·Si(1).

E se minha função tiver um parâmetro, como a·x²?

Substitua o parâmetro por um número primeiro. Uma integral definida é um único número, então toda letra que não seja a variável de integração precisa ter um valor. Qualquer uma das letras pode ser a variável, mas apenas uma.