定积分计算器

结果

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

如何使用定积分计算器

1. 1. 输入函数。 以 x 作为变量:sin(x)、e^(-x^2)、1/sqrt(x)、x^2 ln(x)。乘号可以省略,因此 2x 和 x sin x 也可以使用。
2. 2. 输入积分限。 可使用数字或常数,例如 0、-2 或 pi/2。对于广义积分,无穷限请输入 inf 或 -inf。
3. 3. 阅读数值及其误差。 估计的绝对误差说明应信任其中哪几位数字。如果 f 变号,则会在净有符号面积旁边显示总的无符号面积 ∫|f|。
4. 4. 查看说明和图形。 任何奇点、无穷限或收敛问题都会以平实的语言报告,图形会将曲线上方的面积(蓝色)与下方的面积(橙色)涂色标出。

积分如何计算

默认方法是自适应 Gauss–Kronrod,即 QUADPACK 所采用的方案。在每个子区间上,计算嵌套点上的 7 点 Gauss 规则与 15 点 Kronrod 规则;Kronrod 值为估计值,两者之差即为误差估计。误差最大的子区间被一分为二,该过程不断重复,直至总误差低于结果的 10⁻¹⁰(或绝对误差低于 10⁻¹²)。对于光滑函数,通常用不超过几百次求值即可得到 12 到 14 位正确数字。

无穷限通过 x = a + t/(1 − t) 映射到 [0, 1)。当 f 在端点处不是有限值时,例如 0 处的 ln x 或 1/√x,计算器会切换到双指数(tanh–sinh)求积法,它能够处理可积的端点奇点;这类结果报告到约八位有效数字。背景资料可参阅 NIST 数学函数数字图书馆,§3.5。

示例

奇点、发散及其警告

• 可积奇点。 ∫₀¹ 1/√x dx = 2 与 ∫₀¹ ln x dx = −1 都是有限的,尽管被积函数在 0 处趋于无穷。计算器会注明这一广义端点,并使用双指数规则。
• 发散。 对于 ∫₀¹ 1/x dx,您越靠近 0 停止,面积就增长得越多。工具通过积分到越来越靠近问题点的位置来检验这一点;如果增量不再缩小,它会报告发散而不是给出数值。同一检验也会拒绝 ∫₋₁¹ 1/x dx:它的两半相互抵消(主值为 0),但每一半本身都是发散的,因此该积分不存在。
• 在区间的一部分上不是实数。 ∫₋₁¹ √x dx 没有数值,因为当 x 为负时 √x 不是实数。计算器会指出 f 停止有定义的那一点。
• 狭窄尖峰。 任何数值规则都可能漏掉比其采样间距窄得多的特征。为了辅助判断,区间首先被分为八个面板;但如果您怀疑存在尖峰,请自行在该处分割积分。

常见问题

定积分表示什么?

它是曲线 y = f(x) 与 x 轴在 a 到 b 之间的净有符号面积:x 轴上方的面积计为正,下方的面积计为负。根据微积分基本定理,它也等于任何量的累积变化,而该量的变化率为 f(x)。

为什么积分为 0,而面积不为 0?

对于 [0, 2π] 上的 sin x,上方与下方的部分相互抵消,因此净积分为 0,但几何面积为 4。只要函数变号,计算器都会同时显示两者:|f| 的积分即为总面积。

结果有多准确?

对于光滑函数,误差估计通常在 10⁻¹³ 或更小,结果以十位有效数字报告。对于广义积分和无穷限,所述精度约为八位有效数字。所显示的误差是数值误差的估计,而不是数学上保证的界。

什么是广义积分?

指具有无穷限,或被积函数在区间内某点无界的积分。它被定义为一个极限,并且只有该极限为有限值时才收敛:∫₁^∞ x⁻² dx = 1 收敛,但 ∫₁^∞ 1/x dx 不收敛。

它能给出原函数吗?

不能。它以数值方式计算积分,这对于没有初等原函数的函数同样适用,例如 e^(−x²) 或 sin(x)/x。若需要带步骤的符号运算,请使用导数计算器。

如何对跨越 0 的 sin(x)/x 积分?

直接输入,并使积分限跨越 0,例如 −1 到 1。函数在 0 处没有定义,但在该点的极限为 1,区间会被分割,因此该点本身从不被取样;结果为 1.892166141,即 2·Si(1)。

如果我的函数含有参数,例如 a·x²,怎么办?

先用数值替换参数。定积分是一个单一的数,因此除积分变量外的每个字母都必须有值。可以选择任一字母作为变量,但只能有一个。