Belirli İntegral Hesaplayıcı

Sonuçlar

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

Belirli İntegral Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır

1. 1. Fonksiyonu yazın. Değişken olarak x kullanın: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). Çarpma işareti atlanabilir; bu yüzden 2x ve x sin x çalışır.
2. 2. Sınırları girin. 0, -2 ya da pi/2 gibi sayılar veya sabitler kullanın. Uygunsuz bir integral için sonsuz bir sınır olarak inf ya da -inf yazın.
3. 3. Değeri ve hatasını okuyun. Tahmini mutlak hata, yazdırılan basamaklardan kaçına güvenmeniz gerektiğini gösterir. f işaret değiştiriyorsa, toplam işaretsiz alan ∫|f| net işaretli alanın yanında gösterilir.
4. 4. Notları ve grafiği denetleyin. Her tekillik, sonsuz sınır ya da yakınsama sorunu sade sözlerle bildirilir; grafik eksenin üstündeki alanı (mavi) ve altındaki alanı (turuncu) gölgelendirir.

İntegral Nasıl Hesaplanır

Varsayılan yöntem, QUADPACK'in arkasındaki şema olan uyarlanabilir Gauss–Kronrod yöntemidir. Her alt aralıkta, iç içe noktalarda bir 7 noktalı Gauss kuralı ile 15 noktalı bir Kronrod kuralı değerlendirilir; Kronrod değeri tahmindir ve ikisi arasındaki fark hata tahminidir. En büyük hataya sahip alt aralık ikiye bölünür ve toplam hata sonucun 10⁻¹⁰'unun (ya da mutlak olarak 10⁻¹²'nin) altına inene kadar süreç tekrarlanır. Pürüzsüz fonksiyonlarda bu genellikle birkaç yüz ya da daha az değerlendirmeyle 12 ila 14 doğru basamak verir.

Sonsuz bir sınır, x = a + t/(1 − t) ile [0, 1) aralığına eşlenir. f bir uç noktada sonlu değilse — örneğin 0'da ln x ya da 1/√x gibi — hesaplayıcı tanh–sinh (çift üstel) kuadratürüne geçer; bu yöntem integrallenebilir uç nokta tekilliklerini ele alır ve bu sonuçlar yaklaşık sekiz basamağa kadar bildirilir. Yöntemin arka planı için NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.5 sayfasına bakın.

Çalışılmış Örnekler

Tekillikler, Iraksama ve Uyarıları

• İntegrallenebilir tekillik. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 ve ∫₀¹ ln x dx = −1, integrand 0'da patlamasına rağmen sonludur. Hesaplayıcı uygunsuz uç noktayı belirtir ve tanh–sinh kuralını kullanır.
• Iraksama. ∫₀¹ 1/x dx için, 0'a yaklaştıkça alan büyümeye devam eder. Araç bunu, sorunlu noktaya giderek yaklaşan noktalara kadar integral alarak sınar; artışlar küçülmezse bir değer yerine ıraksama bildirir. Aynı sınama ∫₋₁¹ 1/x dx'i de reddeder: iki yarısı birbirini götürür (ana değer 0), ama her biri tek başına ıraksar; bu nedenle integral yoktur.
• Aralığın bir kısmında reel değil. ∫₋₁¹ √x dx'in değeri yoktur, çünkü negatif x için √x reel değildir. Hesaplayıcı f'nin tanımsız olduğu noktayı belirtir.
• Dar sivriler. Her sayısal kural, örnek aralığından çok daha dar bir özelliği kaçırabilir. Yardımcı olması için aralık önce sekiz panele bölünür; ancak bir sivrilik şüphesi varsa integrali orada siz bölün.

Sık sorulan sorular

Belirli bir integral neyi temsil eder?

y = f(x) eğrisi ile x ekseni arasında a'dan b'ye kadar olan net işaretli alandır: eksenin üstündeki alan pozitif, altındaki alan negatif sayılır. Kalkülüsün Temel Teoremi uyarınca, değişim oranı f(x) olan herhangi bir büyüklüğün biriken değişimine de eşittir.

İntegral 0 olduğu halde alan neden 0 değil?

[0, 2π] üzerinde sin x için eksenin üstündeki ve altındaki kısımlar birbirini götürür; bu nedenle net integral 0'dır, ama geometrik alan 4'tür. Hesaplayıcı fonksiyon işaret değiştirdiğinde ikisini de gösterir: |f|'in integrali toplam alanı verir.

Sonuç ne kadar doğru?

Pürüzsüz fonksiyonlar için hata tahmini genellikle 10⁻¹³ civarında ya da daha küçüktür ve değer on anlamlı basamağa kadar bildirilir. Uygunsuz integraller ve sonsuz sınırlar için belirtilen doğruluk yaklaşık sekiz basamaktır. Gösterilen hata, sayısal hatanın bir tahminidir; matematiksel olarak garanti edilmiş bir sınır değildir.

Uygunsuz integral nedir?

Sonsuz bir sınırı olan ya da integrandın aralığın bir noktasında sınırsız olduğu integraldir. Bir limit olarak tanımlanır ve yalnızca bu limit sonluysa yakınsar: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 yakınsar, ama ∫₁^∞ 1/x dx yakınsamaz.

Ters türevi verebilir mi?

Hayır. İntegrali sayısal olarak değerlendirir; bu, e^(−x²) ya da sin(x)/x gibi elemanter bir ters türevi olmayan fonksiyonlar için de işe yarar. Adımlarıyla sembolik çalışma için Türev Hesaplayıcı kullanılır.

sin(x)/x'i 0'ı kapsayarak nasıl integre ederim?

Sadece 0'ı kapsayan sınırlarla girin, örneğin −1 ile 1 arası. Fonksiyon tam 0'da tanımsızdır ama orada 1 limitine sahiptir ve aralık, nokta hiçbir zaman örneklenmeyecek şekilde bölünür; sonuç 1,892166141'dir, yani 2·Si(1).

Fonksiyonumda a·x² gibi bir parametre varsa ne olur?

Önce parametreyi bir sayıyla değiştirin. Belirli integral tek bir sayıdır; bu nedenle integrasyon değişkeni dışındaki her harfin bir değeri olmalıdır. Değişken olarak herhangi bir harf seçilebilir, ama yalnızca bir tane.