EBOB ve EKOK Hesaplayıcı
İki ya da daha fazla tam sayı girin; en büyük ortak bölenlerini (EBOB) ve en küçük ortak katlarını (EKOK) alın. Yanıt, Öklid bölme algoritması ve asal çarpanlara ayırma yöntemi olmak üzere iki yolla yan yana hesaplanır; böylece sınıfınızın kullandığı yöntemi takip edebilirsiniz. 40 haneye kadar olan sayılar tam olarak işlenir.
İkiden fazla, virgül ya da boşlukla ayrılmış. İşaretler yok sayılır: her ikisi de mutlak değerler üzerinden tanımlanır.
Sonuçlar
6
En büyük ortak bölen (EBOB)
180
En küçük ortak kat (EKOK)
3
Karşılaştırılan sayılar
Öklid algoritmasıyla EBOB
Büyük sayıyı küçüğe bölün, ardından son bölenin kalana bölümüyle devam edin; kalan 0 oluncaya kadar sürdürün. Son bölen EBOB'dur.
EBOB(12, 18)
18 = 1 × 12 + 6
12 = 2 × 6 + 0
Kalan 0'a ulaştı, dolayısıyla EBOB(12, 18) = 6.
EBOB(6, 30)
30 = 5 × 6 + 0
Kalan 0'a ulaştı, dolayısıyla EBOB(6, 30) = 6.
İkiden fazla sayıda, sayıları birer birer katlayın: EBOB(EBOB(12, 18), 30) = EBOB(6, 30) = 6.
EBOB'dan EKOK
İki sayı için EKOK(a, b) = a × b ÷ EBOB(a, b). Daha fazlası için birer birer katlayın.
EKOK(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36
EKOK(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180
Asal çarpanlara ayırma yöntemi
Her sayıyı asal çarpanlarına ayırın. EBOB, sayıların ortak olan her asalı en düşük kuvvetiyle; EKOK ise görünen her asalı en yüksek kuvvetiyle alır.
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
| Asal | 12 | 18 | 30 | EBOB (en düşük kuvvet) | EKOK (en yüksek kuvvet) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2 | 2 | 2 | 2² |
| 3 | 3 | 3² | 3 | 3 | 3² |
| 5 | — | — | 5 | — | 5 |
EBOB = 2 × 3 = 6
EKOK = 2² × 3² × 5 = 180
EBOB ve EKOK Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Sayıları yazın. Virgül ya da boşlukla ayırın: 12, 18, 30. İki sayı yeterlidir; en fazla on iki sayı kabul edilir. Binlik ayraçları kullanmayın, çünkü burada virgül yeni bir sayı başlatır.
- 2. İki yanıtı okuyun. EBOB ve EKOK en üstte görünür. EBOB 1 olduğunda ve sayılar aralarında asal olduğunda bir not eklenir.
- 3. Size öğretilen yöntemi izleyin. Öklid algoritması her bölmeyi listeler; asal çarpan tablosu her asalın her sayıdaki kuvvetini ve EBOB ile EKOK'un hangi kuvveti aldığını gösterir.
- 4. Sonucu kopyalayın. Kopyala düğmesi, EBOB(12, 18, 30) = 6; EKOK(12, 18, 30) = 180 gibi tek satırlık bir özet verir.
EBOB ve EKOK'u Bulmanın İki Yolu
Öklid algoritması
Öklid algoritması, Elements kitabının VII. cildinden (M.Ö. yaklaşık 300) gelir ve tek bir gerçeğe dayanır: iki sayının EBOB'u, kalanlarını da böler. Bu nedenle büyük sayıyı küçüğe bölün, büyük olanın yerine kalanı koyun ve tekrarlayın. Kalan 0'a ulaştığında son bölen EBOB'dur. 48 ve 180 için:
180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → EBOB(48, 180) = 12
Sayıların boyutu ne olursa olsun yöntem hızlıdır: bölme sayısı, daha küçük sayının basamak sayısının beş katını asla aşmaz. Bu yüzden bilgisayarların kullandığı yöntem budur ve bu hesaplayıcı 40 haneli sayılarla anında çalışabilir.
Asal çarpanlara ayırma
Her sayıyı asalların çarpımı olarak yazın. EBOB, sayıların ortak olan asallarının çarpımıdır; her asal en düşük kuvvetiyle alınır. EKOK ise görünen her asalın çarpımıdır; her asal en yüksek kuvvetiyle alınır. 48 = 2⁴ × 3 ve 180 = 2² × 3² × 5 için EBOB 2² × 3 = 12, EKOK ise 2⁴ × 3² × 5 = 720'dir. Yöntem yapıyı görünür kılar, ancak çok büyük sayılarda çarpanlara ayırmaya bağlı olduğundan yavaşlar.
İki sayı için yanıtları birbirine bağlayan bir kısayol da vardır: EKOK(a, b) = a × b ÷ EBOB(a, b). 48 ve 180 için bu, 8640 ÷ 12 = 720 eder. Hesaplayıcı, EKOK'u EBOB'dan oluşturmak için bunu kullanır.
Çalışılmış Örnek: 12, 18 ve 30
- İlk çiftin EBOB'u. 18 = 1 × 12 + 6, sonra 12 = 2 × 6 + 0; dolayısıyla EBOB(12, 18) = 6.
- Üçüncü sayıyı ekleyin. 30 = 5 × 6 + 0; dolayısıyla EBOB(EBOB(12, 18), 30) = EBOB(6, 30) = 6.
- Çiftler hâlinde EKOK. EKOK(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, sonra EKOK(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
- Asallarla kontrol edin. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² ve 30 = 2 × 3 × 5. Ortak asallar en düşük kuvvetleriyle 2 × 3 = 6 verir; tüm asallar en yüksek kuvvetleriyle 2² × 3² × 5 = 180 verir.
EBOB ve EKOK'a Ne Zaman İhtiyaç Duyarsınız
| Durum | Kullanılan | Örnek |
|---|---|---|
| Bir kesri sadeleştirmek | EBOB | 18/30: ikisini de EBOB 6'ya bölerek 3/5 elde edersiniz. |
| Kesirleri toplamak | EKOK | 1/12 + 1/18: en küçük ortak payda 36'dır. |
| Eşit gruplara ayırmak | EBOB | 12 kalem ve 18 kurşun kalemi en fazla 6 özdeş sete bölebilirsiniz. |
| Tekrarlayan döngüleri hizalamak | EKOK | Her 12 ve 18 dakikada bir sefer yapan otobüsler 36 dakika sonra yeniden aynı anda kalkar. |
| Bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak | EBOB | 12x + 18 = 6(2x + 3). |
Sık sorulan sorular
- EBOB ile EKOK arasındaki fark nedir?
- En büyük ortak bölen, listedeki her sayıyı bölen en büyük sayıdır; bu yüzden hiçbir zaman en küçük sayıdan büyük olamaz. En küçük ortak kat, listedeki her sayının bölebildiği en küçük sayıdır; bu yüzden hiçbir zaman en büyük sayıdan küçük olamaz. 12 ve 18 için EBOB 6, EKOK ise 36'dır.
- EBOB, GCD ve HCF aynı şey mi?
- Evet. En büyük ortak bölen (EBOB), en büyük ortak bölen (GCD) ve en yüksek ortak çarpan (HCF, İngiltere'de yaygın kullanılan terim) aynı sayının üç adıdır. EKOK bazen "lowest common multiple" olarak da anılır.
- İki asal sayının EBOB'u nedir?
- 1'dir, çünkü bir asalın tek çarpanları 1 ve kendisidir. EBOB'u 1 olan iki sayıya aralarında asal ya da göreli asal denir ve EKOK'ları basitçe çarpımlarıdır: EKOK(7, 11) = 77. Asal olmadan da aralarında asal olabilirler; örneğin 8 ve 15.
- Üç ya da daha fazla sayının EKOK'unu nasıl bulursunuz?
- Çiftler hâlinde çalışın: önce ilk ikisinin EKOK'unu, sonra bu sonucun üçüncü sayıyla EKOK'unu bulun ve böyle devam edin. Ya da her sayıyı asallarına ayırın ve her asalı, herhangi birinde ulaştığı en yüksek kuvvetiyle çarpın.
- Neden 0 giremiyorum?
- Her tam sayı 0'ı böler; dolayısıyla EBOB(0, n) doğrudan n'dir ve kurala göre EKOK(0, n) = 0'dır. İkisi de hesap gerektirmez ve 0'ın gösterilecek bir asal çarpanlarına ayırma yoktur. 0'ı kaldırırsanız hesaplayıcı kalan sayıları karşılaştırır.
- EBOB × EKOK her zaman sayıların çarpımına eşit midir?
- Yalnızca iki sayı için: EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b. Üç ya da daha fazla sayıda bu bozulur — 2, 4 ve 8 için EBOB 2, EKOK ise 8'dir; bu yüzden çarpımları 64 değil 16'dır.