Fibonacci Hesaplayıcı

Sonuçlar

Binet formülü

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, burada φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 ve ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. |ψ| < 1 olduğundan ikinci terim sönümlenir; bu yüzden F(n), φⁿ ÷ √5 değerinin en yakın tam sayıya yuvarlanmış hâlidir.

Bu, kesin F(100) = 354224848179261915075 değerinden farklıdır. Çift duyarlıklı bir sayı yaklaşık 16 anlamlı basamak taşır; bu yüzden sıradan kayan noktalı aritmetikte Binet formülü n ≈ 70 civarından itibaren sapmaya başlar. Buradaki kesin değerler tam sayı aritmetiğiyle hesaplanır.

Ardışık terimlerin oranı

F(n + 1) ÷ F(n), n büyüdükçe altın oran φ'ye yaklaşır ve bunun hem altında hem üstünde salınır.

Dizi

Fibonacci Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır

1. 1. n değerini girin. 0 ile 100000 arasında herhangi bir tam sayı. Araç F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2 dizinlemesini kullanır.
2. 2. F(n) değerini okuyun. Değer basamak sayısıyla birlikte görünür. 40 basamağın üzerinde kart ilk ve son basamakları gösterir; Tüm basamakları kopyala her birini kopyalar.
3. 3. Formülleri karşılaştırın. Binet bölümü φⁿ, ψⁿ ve yuvarlanmış sonucu kesin terimin yanında gösterir; böylece kayan noktalı aritmetiğin ne zaman güvenilmez hâle geldiğini görebilirsiniz. Oran bölümü F(n + 1) ÷ F(n) değerini φ ile yan yana, 30 ondalık basamağa kadar gösterir.
4. 4. Terimleri listeleyin. Dizi bölümünde bir başlangıç terimi ve gösterilecek terim sayısını (en fazla 100) seçerek her F(n) ile her F(n + 1) ÷ F(n) oranını içeren bir tablo alın.

Fibonacci dizisi nedir

Her terim, kendinden önceki iki terimin toplamıdır: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2). Dizi 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 diye başlar. Pisalı Leonardo (Fibonacci), Liber Abaci (1202) kitabında bir tavşan popülasyonunu modellemek için bu diziyi kullandı; sayılar ise daha önce Hint şiir ölçüsü üzerine yazılarda da görünmüştü. Bazı kitaplar diziyi F(1) = F(2) = 1 ile başlatır ve F(0)'ı atlar; değerler aynıdır, yalnızca konum numaraları farklıdır.

Bilinmeye değer birkaç özdeşlik var: terimlerin toplamı F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); her üçüncü terim çifttir; m, n'yi bölerse F(m), F(n)'yi böler; ve Cassini özdeşliği F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ'dir.

Binet formülü ve sınırları

Binet formülü F(n)'yi doğrudan verir: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, burada φ = (1 + √5) ÷ 2 ve ψ = (1 − √5) ÷ 2. ψ yaklaşık −0,618 olduğundan ψⁿ 0'a doğru küçülür ve F(n), basitçe φⁿ ÷ √5 değerinin en yakın tam sayıya yuvarlanmış hâlidir. n = 10 için φ¹⁰ ≈ 122,9919, ψ¹⁰ ≈ 0,0081 ve (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.

Altın oran

Her terimi kendinden önceki terime böldüğünüzde cevaplar φ = 1,6180339887… olan altın orana yaklaşır. Bunun etrafında salınırlar — 2; 1,5; 1,667; 1,6; 1,625; 1,615… — ve her oran bir öncekinden daha yakındır. 20 terimden sonra F(21) ÷ F(20) = 10.946 ÷ 6765, φ ile 7 ondalık basamağa kadar uyuşur; F(41) ÷ F(40) 16 basamağa kadar uyuşur; F(101) ÷ F(100) ise hesaplayıcının gösterdiği 30 basamağın tamamında uyuşur. Nedeni Binet ile aynıdır: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.

F(100) = 354224848179261915075   (21 basamak)
Formülle basamak sayısı: ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21
F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…

Sık sorulan sorular

100. Fibonacci sayısı nedir?

F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, 21 basamaklı bir sayıdır. Bu, F(0) = 0 ve F(1) = 1 kuralını kullanır. Diziyi 1, 1, 2, 3, … diye başlatan kaynaklarda 100. terim yine F(100)'dür; yalnızca baştaki 1'i atlayan kaynaklar konumu bir kaydırır.

Fibonacci sayılarını listelemeden n. sayıyı nasıl bulursunuz?

Küçük n için Binet formülünü, kesin sonuçlar için hızlı ikileme yöntemini kullanın: bu yöntem F(n)'yi F(n ÷ 2) ve F(n ÷ 2 + 1) değerlerinden birkaç çarpmayla kurar; böylece F(100000) bile yalnızca yaklaşık 17 ikileme gerektirir. Terim terim toplamak da işe yarar, ama n adım alır.

Fibonacci dizisi 0 ya da 1 ile mi başlar?

İki kural da kullanılır. Matematik genellikle F(0) = 0, F(1) = 1 ile başlar (bu hesaplayıcı). Birçok ders kitabı ve bulmaca ise 1, 1 ile başlar. Başlangıçtan sonraki terimler aynıdır, bu yüzden yanıtları karşılaştırmadan önce probleminizin hangi dizini kastettiğini kontrol edin.

Fibonacci dizisi altın oranla nasıl ilişkilidir?

Ardışık terimlerin oranı F(n + 1) ÷ F(n), φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034 değerine yaklaşır. Tersine, φⁿ ÷ √5, F(n)'ye 0,5'ten daha yakındır; bu Binet formülüdür. Araçtaki tablo, oranların yakınsamasını gösterir.

Binet formülü neden tam sayı verir?

Irrasyonel kısımlar tam olarak birbirini götürür: φⁿ ve ψⁿ eşleniktir, bu yüzden farkları √5'in bir katıdır. Ancak kayan noktalı aritmetikte φⁿ yuvarlanır ve yaklaşık n = 71'den itibaren yuvarlama hatası 0,5'i aşar; cevap bir ya da daha fazla birim sapar.

F(n) kaç basamaklıdır?

Yaklaşık 0,2090 × n basamak: kesin olarak n ≥ 2 için ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1. Yani F(1000) 209 basamaklıdır ve F(100000) 20.899 basamaklıdır.

Aynı kuralı izleyen başka sayılar var mı?

Evet. Herhangi iki başlangıç değeri ve 'bir önceki ikisini topla' kuralı, Fibonacci benzeri bir dizi oluşturur; 2 ve 1 ile başlamak Lucas sayılarını verir: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. Bu tür tüm dizilerin oranları da φ'ye yaklaşır. Kendi dizinizi Sayı Dizisi Çözücü'de deneyebilirsiniz.