फिबोनाची कैलकुलेटर

परिणाम

बिनेट का सूत्र

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, जहाँ φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.6180339887 और ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0.6180339887। चूँकि |ψ| < 1 है, दूसरा पद लुप्त हो जाता है, इसलिए F(n), φⁿ ÷ √5 का निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित मान है।

यह सटीक F(100) = 354224848179261915075 से भिन्न है। डबल लगभग 16 सार्थक अंक रखता है, इसलिए साधारण फ़्लोटिंग-पॉइंट में बिनेट का सूत्र लगभग n = 70 से विचलित होने लगता है। यहाँ के सटीक आँकड़े पूर्ण-संख्या अंकगणित से आते हैं।

लगातार पदों का अनुपात

F(n + 1) ÷ F(n), n बढ़ने के साथ स्वर्णिम अनुपात φ की ओर जाता है, उसके ऊपर और नीचे बारी-बारी से।

अनुक्रम

फिबोनाची कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. n दर्ज करें। 0 से 100000 तक कोई भी पूर्ण संख्या। टूल सूचकांक F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2 का उपयोग करता है।
2. 2. F(n) पढ़ें। मान अपनी अंक-संख्या के साथ दिखता है। 40 अंकों से आगे कार्ड पहले और अंतिम अंक दिखाता है, और सभी अंक कॉपी करें हर अंक कॉपी करता है।
3. 3. सूत्रों की तुलना करें। बिनेट अनुभाग φⁿ, ψⁿ और पूर्णांकित परिणाम को सटीक पद के साथ दिखाता है, ताकि आप देख सकें कि फ़्लोटिंग-पॉइंट गणित कहाँ भरोसेमंद नहीं रहता। अनुपात अनुभाग F(n + 1) ÷ F(n) को 30 दशमलव स्थानों तक φ के साथ दिखाता है।
4. 4. पदों की सूची बनाएँ। अनुक्रम अनुभाग में एक प्रारंभिक पद और कितने पद (100 तक) दिखाने हैं, यह चुनें, ताकि हर F(n) और उसके अनुपात F(n + 1) ÷ F(n) की तालिका मिले।

फिबोनाची अनुक्रम क्या है

हर पद उससे पहले के दो पदों का योग है: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), जो 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 से शुरू होता है। पीसा के लियोनार्डो (फिबोनाची) ने इसे Liber Abaci (1202) में खरगोशों की आबादी का मॉडल बनाने के लिए उपयोग किया, हालाँकि ये संख्याएँ भारतीय काव्य-छंद पर लिखे गए ग्रंथों में पहले ही आ चुकी थीं। कुछ पुस्तकें अनुक्रम को F(1) = F(2) = 1 से शुरू करती हैं और F(0) छोड़ देती हैं; मान वही रहते हैं, केवल स्थान-संख्याएँ अलग होती हैं।

कुछ रोचक सर्वसमिकाएँ: पदों का योग F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 होता है (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); हर तीसरा पद सम होता है; जब m, n को भाग दे तो F(m), F(n) को भाग देता है; और कैसिनी की सर्वसमिका कहती है कि F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ।

बिनेट का सूत्र और उसकी सीमाएँ

बिनेट का सूत्र F(n) सीधे देता है: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, जहाँ φ = (1 + √5) ÷ 2 और ψ = (1 − √5) ÷ 2। चूँकि ψ लगभग −0.618 है, ψⁿ 0 की ओर सिकुड़ता है और F(n) बस φⁿ ÷ √5 है, जिसे निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित किया जाता है। n = 10 के लिए φ¹⁰ ≈ 122.9919, ψ¹⁰ ≈ 0.0081, और (122.9919 − 0.0081) ÷ 2.2361 = 55।

स्वर्णिम अनुपात

हर पद को उससे पहले वाले से भाग दें, और उत्तर स्वर्णिम अनुपात φ = 1.6180339887… की ओर पहुँचते हैं। वे उसके चारों ओर बारी-बारी से झूलते हैं — 2, 1.5, 1.667, 1.6, 1.625, 1.615… — और हर अनुपात पिछले से अधिक निकट होता है। 20 पदों के बाद F(21) ÷ F(20) = 10946 ÷ 6765 φ से 7 दशमलव स्थानों तक मेल खाता है; F(41) ÷ F(40) 16 स्थानों तक; F(101) ÷ F(100) कैलकुलेटर द्वारा दिखाए गए सभी 30 स्थानों तक। कारण वही है जो बिनेट के लिए है: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ।

F(100) = 354224848179261915075   (21 अंक)
सूत्र से अंक: ⌊100 × 0.20898764 − 0.34948500⌋ + 1 = 21
F(101) ÷ F(100) = 1.618033988749894848204586834365…

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

100वीं फिबोनाची संख्या क्या है?

F(100) = 354,224,848,179,261,915,075, जो 21 अंकों की संख्या है। यह F(0) = 0 और F(1) = 1 की परिपाटी मानता है। यदि आपका स्रोत 1, 1, 2, 3, … से गिनता है, तो उसका 100वाँ पद भी F(100) ही है; केवल वे स्रोत स्थान-संख्या एक से खिसकाते हैं जो प्रारंभिक 1 छोड़ देते हैं।

बिना हर पद सूचीबद्ध किए n-वीं फिबोनाची संख्या कैसे निकालें?

छोटे n के लिए बिनेट का सूत्र, और सटीक परिणाम के लिए फ़ास्ट डबलिंग: यह F(n ÷ 2) और F(n ÷ 2 + 1) से F(n) कुछ गुणाओं में बनाता है, इसलिए F(100000) के लिए भी लगभग 17 डबलिंग काफ़ी हैं। पद-दर-पद जोड़ना काम करता है, पर उसमें n चरण लगते हैं।

फिबोनाची अनुक्रम 0 से शुरू होता है या 1 से?

दोनों परिपाटियाँ प्रचलित हैं। गणित आमतौर पर F(0) = 0, F(1) = 1 से शुरू करता है (यह कैलकुलेटर)। कई पाठ्यपुस्तकें और पहेलियाँ 1, 1 से शुरू करती हैं। शुरुआत के बाद के पद एक जैसे हैं, इसलिए उत्तरों की तुलना से पहले जाँच लें कि आपकी समस्या किस सूचकांक की बात करती है।

फिबोनाची अनुक्रम का स्वर्णिम अनुपात से क्या संबंध है?

लगातार पदों का अनुपात F(n + 1) ÷ F(n), φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618034 की ओर जाता है। इसके विपरीत, φⁿ ÷ √5, F(n) से 0.5 के भीतर रहता है, और यही बिनेट का सूत्र है। टूल की तालिका में अनुपात अभिसरण होते दिखते हैं।

बिनेट का सूत्र पूर्ण संख्या क्यों देता है?

अपरिमेय भाग ठीक-ठीक निरस्त हो जाते हैं: φⁿ और ψⁿ संयुग्मी हैं, इसलिए उनका अंतर √5 का गुणज होता है। फ़्लोटिंग-पॉइंट गणित में, हालाँकि, φⁿ पूर्णांकित होता है, और लगभग n = 71 से पूर्णांकन की त्रुटि 0.5 से अधिक हो जाती है और उत्तर एक या अधिक से गलत हो जाता है।

F(n) में कितने अंक होते हैं?

लगभग 0.2090 × n अंक: सटीक रूप से n ≥ 2 के लिए ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1। तो F(1000) में 209 अंक हैं और F(100000) में 20,899।

क्या और संख्याएँ भी इसी नियम का पालन करती हैं?

हाँ। कोई भी दो प्रारंभिक मान और नियम 'पिछले दो को जोड़ो' मिलकर फिबोनाची-जैसा अनुक्रम बनाते हैं; 2 और 1 से शुरू करने पर लूकास संख्याएँ 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18 मिलती हैं। ऐसे सभी अनुक्रमों के अनुपात भी φ की ओर जाते हैं। अपना अनुक्रम संख्या अनुक्रम सॉल्वर में आज़माएँ।