आइगेनवैल्यू कैलकुलेटर
6 × 6 तक का वर्ग मैट्रिक्स दर्ज करें और उसके आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर, कैरेक्टरिस्टिक बहुपद, ट्रेस और डिटर्मिनेंट की जाँच, और जब संभव हो तब विकर्णीकरण A = PDP⁻¹ पाएँ। बहुपद अनुमति दे तो आइगेनवैल्यू सटीक आते हैं — भिन्न, मूलों या सम्मिश्र संख्याओं के रूप में — अन्यथा संख्यात्मक रूप में। निःशुल्क, साइन-अप की ज़रूरत नहीं, और सब कुछ आपके ब्राउज़र में चलता है।
पूर्ण संख्याएँ, दशमलव या 3/4 जैसे भिन्न।
परिणाम
आइगेनवैल्यू (बीजगणितीय बहुलता के अनुसार दोहराए गए)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
ट्रेस
10
डिटर्मिनेंट
सटीक
विधि
नहीं
सममित?
हाँ
विकर्णनीय?
जाँच: आइगेनवैल्यू जोड़ने पर ट्रेस 7 मिलता है, और गुणा करने पर डिटर्मिनेंट 10 मिलता है।
कैरेक्टरिस्टिक बहुपद
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- परिमेय मूल प्रमेय: परिमेय मूल, अग्रगुणांक के एक भाजक पर अचर पद का एक भाजक होता है। मिले हुए मूल: 2, 5।
आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर
हर आइगेनवेक्टर (A − λI)v = 0 हल करता है। उसका कोई भी शून्येतर गुणज भी आइगेनवेक्टर है।
λ = 2
बीजगणितीय बहुलता 1, ज्यामितीय बहुलता 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
बीजगणितीय बहुलता 1, ज्यामितीय बहुलता 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
विकर्णीकरण
आइगेनवेक्टर P के कॉलम बनाते हैं, और A = P D P⁻¹, जहाँ D आइगेनवैल्यू का विकर्ण मैट्रिक्स है।
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
आइगेनवैल्यू कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. आकार चुनें। 2 से 6 के बीच n चुनें और n × n मैट्रिक्स भरें। 3/4 जैसे भिन्न और दशमलव सटीक पढ़े जाते हैं।
- 2. आइगेनवैल्यू पढ़ें। वे बीजगणितीय बहुलता के अनुसार दोहराव के साथ सूचीबद्ध हैं, और साथ में त्वरित जाँच के लिए ट्रेस और डिटर्मिनेंट: आइगेनवैल्यू जोड़ने पर ट्रेस मिलता है और गुणा करने पर डिटर्मिनेंट।
- 3. कैरेक्टरिस्टिक बहुपद का पालन करें। कैलकुलेटर p(λ) = det(λI − A) लिखता है, उसके परिमेय मूल निकालता है, और जो बचता है उसे द्विघात सूत्र से हल करता है।
- 4. आइगेनवेक्टर जाँचें। हर आइगेनवैल्यू के लिए आप A − λI और उसके आइगेनस्पेस का आधार देखते हैं, साथ में P और D, जब A परिमेय संख्याओं पर विकर्णनीय हो।
आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर क्या हैं
वर्ग मैट्रिक्स A का आइगेनवेक्टर एक शून्येतर सदिश v है जिसे A केवल खींचता या सिकोड़ता है, कभी घुमाता नहीं: Av = λv। अदिश λ आइगेनवैल्यू है। पुनर्व्यवस्थित करने पर (A − λI)v = 0 का शून्येतर हल केवल तभी होता है जब A − λI सिंगुलर हो, और यह ठीक तभी होता है जब det(A − λI) = 0। यह समीकरण कैरेक्टरिस्टिक समीकरण है, और बहुपद कैरेक्टरिस्टिक बहुपद है। यह कैलकुलेटर मोनिक रूप det(λI − A) उपयोग करता है, जो det(A − λI) से केवल गुणक (−1)ⁿ में भिन्न है और उसके वही मूल हैं।
| शब्द | अर्थ |
|---|---|
| बीजगणितीय बहुलता | कैरेक्टरिस्टिक बहुपद में λ कितनी बार मूल है |
| ज्यामितीय बहुलता | आइगेनस्पेस का आयाम: λ के कितने स्वतंत्र आइगेनवेक्टर हैं |
| विकर्णनीय | A के n स्वतंत्र आइगेनवेक्टर हैं, इसलिए A = PDP⁻¹; इसके लिए हर आइगेनवैल्यू पर ज्यामितीय बहुलता = बीजगणितीय बहुलता चाहिए |
| दोषपूर्ण | किसी आइगेनवैल्यू की ज्यामितीय बहुलता उसकी बीजगणितीय बहुलता से कम है |
ज्यामितीय बहुलता कभी बीजगणितीय बहुलता से बड़ी नहीं होती। वास्तविक सममित मैट्रिक्स हमेशा विकर्णनीय होते हैं, और उनके आइगेनवैल्यू वास्तविक होते हैं।
सटीक उत्तर और संख्यात्मक उत्तर
कैरेक्टरिस्टिक बहुपद सटीक रूप से निकाला जाता है, इसलिए उसमें कोई पूर्णांकन नहीं है। परिमेय मूल परिमेय मूल प्रमेय से खोजे जाते हैं और उन्हें भाग देकर हटाया जाता है। यदि एक द्विघात बचे, तो द्विघात सूत्र बचे दोनों आइगेनवैल्यू बंद रूप में देता है, सम्मिश्र सहित, और आइगेनवेक्टर उसी संख्या-पद्धति में सटीक हल होते हैं। इसमें हर 2 × 2 मैट्रिक्स आता है, हर 3 × 3 मैट्रिक्स जिसके कैरेक्टरिस्टिक बहुपद का कोई परिमेय मूल है, और बड़े मैट्रिक्स जो परिमेय मूलों और एक द्विघात में टूटते हैं।
जब बहुपद इस तरह गुणनखंडित न हो — एक अपरिमेय घन, या अपरिमेय मूलों वाला चतुर्घात — तब कैलकुलेटर डबल प्रिसिशन में QR एल्गोरिद्म पर चला जाता है। यह मैट्रिक्स को हेसनबर्ग रूप में लाता है, उप-विकर्ण शून्य होने तक शिफ़्टेड QR चरण लगाता है, और प्रतिलोम पुनरावृत्ति से आइगेनवेक्टर खोजता है। अच्छी तरह व्यवहार करने वाले मैट्रिक्स के लिए लगभग दस सही अंकों की अपेक्षा करें। जिस आइगेनवैल्यू का काल्पनिक भाग उसके आकार के 10⁻⁹ से कम हो, वह वास्तविक दिखाया जाता है, और पृष्ठ बताता है कि किस विधि का उपयोग हुआ।
कार्य उदाहरण
A = [4 1; 2 3]। ट्रेस 7 है और डिटर्मिनेंट 10, इसलिए p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5)। λ = 2 के लिए आइगेनवेक्टर (1, −2) है, और λ = 5 के लिए (1, 1)। फिर P के कॉलम (1, −2) और (1, 1) हैं, D = diag(2, 5), और A = PDP⁻¹।
A = [1 1; 1 0] (फ़िबोनाची मैट्रिक्स)। यहाँ p(λ) = λ² − λ − 1 का डिस्क्रिमिनेंट 5 है और कोई परिमेय मूल नहीं, इसलिए आइगेनवैल्यू (1 + √5)/2 ≈ 1.618034 — स्वर्ण अनुपात — और (1 − √5)/2 ≈ −0.618034 हैं, और पहले के लिए आइगेनवेक्टर ((1 + √5)/2, 1) है।
A = [0 −1; 1 0], 90° का घूर्णन, का p(λ) = λ² + 1 है, इसलिए इसके आइगेनवैल्यू i और −i हैं: कोई वास्तविक सदिश अपनी दिशा नहीं रखता। चक्रीय क्रमचय मैट्रिक्स जिसकी पंक्तियाँ (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) हैं, उसका p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1) है, इसलिए उसके आइगेनवैल्यू 1 और एकता के सम्मिश्र घनमूल (−1 ± i√3)/2 हैं। A = [2 1; 0 2] में λ = 2 की बीजगणितीय बहुलता 2 है, पर केवल एक आइगेनवेक्टर दिशा है, इसलिए यह दोषपूर्ण है और इसका विकर्णीकरण नहीं हो सकता।
विकर्ण पर 2 और उसके बगल में −1 वाला 4 × 4 त्रिविकर्ण मैट्रिक्स अपरिमेय आइगेनवैल्यू रखता है, इसलिए यह संख्यात्मक रूप से चलता है: इसके आइगेनवैल्यू 0.381966, 1.381966, 2.618034 और 3.618034 हैं, जो k = 1 से 4 के लिए 2 − 2cos(kπ/5) से मेल खाते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- 2×2 मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू कैसे ज्ञात करें?
- ट्रेस और डिटर्मिनेंट निकालें, λ² − (ट्रेस)λ + (डिटर्मिनेंट) = 0 लिखें, और उसे हल करें। [4 1; 2 3] के लिए यह λ² − 7λ + 10 = 0 है, इसलिए λ = 2 और λ = 5। यदि डिस्क्रिमिनेंट ऋणात्मक हो, तो आइगेनवैल्यू सम्मिश्र संयुग्मी होते हैं।
- आइगेनवैल्यू मिल जाने पर आइगेनवेक्टर कैसे ज्ञात करें?
- हर आइगेनवैल्यू λ के लिए (A − λI)v = 0 हल करें, आम तौर पर पंक्ति-रिडक्शन से। हल आइगेनस्पेस बनाते हैं; उसमें कोई भी शून्येतर सदिश आइगेनवेक्टर है, इसलिए आइगेनवेक्टर केवल एक अदिश गुणज तक परिभाषित होते हैं।
- क्या वास्तविक मैट्रिक्स के सम्मिश्र आइगेनवैल्यू हो सकते हैं?
- हाँ। वास्तविक मैट्रिक्स के सम्मिश्र आइगेनवैल्यू संयुग्मी जोड़ों में आते हैं। समतल का 0° या 180° से भिन्न कोण से घूर्णन कोई वास्तविक आइगेनवेक्टर नहीं रखता, इसलिए उसके आइगेनवैल्यू सम्मिश्र हैं।
- यदि कोई आइगेनवैल्यू 0 हो तो इसका क्या अर्थ है?
- मैट्रिक्स सिंगुलर है: det A = 0, क्योंकि डिटर्मिनेंट आइगेनवैल्यू का गुणनफल है, और 0 के आइगेनवेक्टर Ax = 0 के शून्येतर हल हैं। 0 की बहुलता बताती है कि मैट्रिक्स स्पेस का कितना हिस्सा ढहा देता है।
- मैट्रिक्स कब विकर्णनीय होता है?
- जब उसके n रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेनवेक्टर हों। भिन्न आइगेनवैल्यू इसकी गारंटी देते हैं, और वास्तविक सममित मैट्रिक्स भी। दोहराया गया आइगेनवैल्यू इसे तोड़ सकता है यदि उसका आइगेनस्पेस बहुत छोटा हो, जैसे [2 1; 0 2] में।
- कुछ आइगेनवैल्यू दशमलव में क्यों दिखाए जाते हैं?
- 5 × 5 और 6 × 6 मैट्रिक्स के लिए, और बिना परिमेय मूल वाले घनों के लिए, इस टूल के पास कोई मूल-सूत्र नहीं है, इसलिए यह QR एल्गोरिद्म उपयोग करता है। ये मान लगभग दस अंकों तक सटीक हैं; उनके बगल में दिखाया गया कैरेक्टरिस्टिक बहुपद फिर भी सटीक है।