वृत्त कैलकुलेटर
वृत्त की त्रिज्या, व्यास, परिधि या क्षेत्रफल में से कोई एक दर्ज करें और बाकी तीन पाएँ — π के रूप में सटीक, दशमलव और हर चरण के साथ। फिर केंद्रीय कोण जोड़ें और चाप की लंबाई, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, जीवा, वृत्तखंड और उसकी ऊँचाई पाएँ, एक नामित आकृति के साथ। निःशुल्क, पंजीकरण आवश्यक नहीं; यह आपके ब्राउज़र में चलता है।
पूर्ण संख्याएँ, दशमलव और 3/4 जैसे भिन्न। परिधि और क्षेत्रफल को π के गुणज के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे 10π, ताकि उत्तर सटीक रहे।
परिणाम
| माप | सटीक | दशमलव |
|---|---|---|
| त्रिज्या (r) | 5 cm | 5 cm |
| व्यास (d) | 10 cm | 10 cm |
| परिधि (C) | 10π cm | 31.42 cm |
| क्षेत्रफल (A) | 25π cm² | 78.54 cm² |
गणना के चरण
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
चाप, त्रिज्यखंड, जीवा और वृत्तखंड
ये ऊपर मिली त्रिज्या का उपयोग करते हैं।
| माप | सटीक | दशमलव |
|---|---|---|
| चाप की लंबाई (s) | 5π/3 cm | 5.24 cm |
| त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल | 25π/6 cm² | 13.09 cm² |
| जीवा की लंबाई (c) | 5 cm | 5 cm |
| वृत्तखंड का क्षेत्रफल | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2.26 cm² |
| वृत्तखंड की ऊँचाई (sagitta) | 5 − 5√3/2 cm | 0.67 cm |
| त्रिज्यखंड की परिमिति | 10 + 5π/3 cm | 15.24 cm |
| वृत्तखंड की परिमिति | 5 + 5π/3 cm | 10.24 cm |
कोण की गणना
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
आकृति
वृत्त कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. बताएँ कि आपके पास क्या है। त्रिज्या, व्यास, परिधि या क्षेत्रफल चुनें, और उसका मान टाइप करें। पूर्ण संख्याएँ, दशमलव और 3/4 जैसे भिन्न सटीक रूप से पढ़े जाते हैं।
- 2. π के साथ सटीकता रखें। परिधि या क्षेत्रफल को π के गुणज के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे 10π या 25π, और त्रिज्या एक साफ़ संख्या बनकर आती है। सादी संख्या के रूप में लिखी गई परिधि 10 का अर्थ है r = 5/π।
- 3. चारों माप पढ़ें। त्रिज्या, व्यास, परिधि और क्षेत्रफल सटीक रूप में और आपके चुने दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित दशमलव में दिखते हैं, नीचे गणना के साथ।
- 4. केंद्रीय कोण जोड़ें। उसे डिग्री में लिखें, या रेडियन में π के गुणज के रूप में, जैसे pi/3। इसके बाद चाप, त्रिज्यखंड, जीवा, वृत्तखंड और उसकी ऊँचाई आती हैं, एक नामित वृत्त पर बनी हुई।
वृत्त के सूत्र
| ज्ञात करें | सूत्र | टिप्पणियाँ |
|---|---|---|
| व्यास | d = 2r | त्रिज्या का दोगुना |
| परिधि | C = 2πr = πd | चारों ओर की दूरी |
| क्षेत्रफल | A = πr² | वृत्त के भीतर की सतह |
| परिधि से त्रिज्या | r = C / (2π) | C = 2πr को पुनर्व्यवस्थित करता है |
| क्षेत्रफल से त्रिज्या | r = √(A / π) | A = πr² को पुनर्व्यवस्थित करता है |
| परिधि से क्षेत्रफल | A = C² / (4π) | r = C / (2π) रखता है |
संख्या π किसी भी वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात है, लगभग 3.14159। यह अपरिमेय है, इसलिए अधिकांश वृत्त-प्रश्नों का सटीक उत्तर π के साथ लिखा जाता है — 78.5398… के बजाय 25π — और केवल अंत में पूर्णांकित किया जाता है।
चाप, त्रिज्यखंड, जीवा और वृत्तखंड
केंद्रीय कोण θ वृत्त को टुकड़ों में बाँटता है। सबसे साफ़ सूत्रों के लिए θ को रेडियन में मापें (180° = π रेडियन)।
| भाग | सूत्र | यह क्या है |
|---|---|---|
| चाप की लंबाई | s = r × θ | दो त्रिज्याओं के बीच की वक्र रेखा |
| त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल | ½ × r² × θ | केंद्र से चाप तक का टुकड़ा |
| जीवा | c = 2r × sin(θ / 2) | चाप के सिरों को जोड़ने वाली सीधी रेखा |
| वृत्तखंड का क्षेत्रफल | ½ × r² × (θ − sin θ) | जीवा और चाप के बीच का क्षेत्र |
| वृत्तखंड की ऊँचाई (sagitta) | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | वृत्तखंड की ऊँचाई |
वृत्तखंड वह त्रिज्यखंड है जिसमें से दो त्रिज्याओं और जीवा से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल घटा दिया गया हो, जिसका क्षेत्रफल ½r² sin θ है — यहीं से θ − sin θ आता है। 180° से बड़े θ के लिए भी सूत्र लागू रहते हैं: तब “वृत्तखंड” बड़ा भाग होता है और उसकी ऊँचाई त्रिज्या से अधिक हो जाती है।
हल किए गए उदाहरण
- त्रिज्या से। r = 5 से d = 10, C = 10π ≈ 31.42 और A = 25π ≈ 78.54 मिलता है।
- परिधि से। C = 10 से r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1.59, और A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7.96 मिलता है। 10π लिखने पर वही वृत्त r = 5 का होता है।
- त्रिज्या 3 का 60° त्रिज्यखंड। θ = π/3, इसलिए चाप π ≈ 3.14 है, त्रिज्यखंड 3π/2 ≈ 4.71 है और जीवा 2 × 3 × sin 30° = 3 है — त्रिज्या के बराबर, क्योंकि त्रिभुज समबाहु है।
- उसका वृत्तखंड। वृत्तखंड का क्षेत्रफल = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0.82, और ऊँचाई 3 − 3√3/2 ≈ 0.40 है।
सटीक जीवाएँ और वृत्तखंड तब आते हैं जब sin(θ/2) और sin θ का बंद रूप हो — यानी क्रमशः 30° और 15° के गुणज कोणों के लिए। अन्य कोणों, जैसे 50° के लिए, चाप और त्रिज्यखंड अब भी सटीक रहते हैं, पर जीवा और वृत्तखंड दशमलव में दिए जाते हैं।
सामान्य गलतियाँ
- ऐसे सूत्र में व्यास का उपयोग करना जिसे त्रिज्या चाहिए: क्षेत्रफल = πr², πd² नहीं।
- s = rθ या ½r²θ में डिग्री से गणना करना, जहाँ रेडियन चाहिए; कैलकुलेटर रूपांतरण स्वयं करता है।
- त्रिज्यखंड (केंद्र तक पहुँचने वाला टुकड़ा) और वृत्तखंड (जीवा से कटा हुआ भाग) को भ्रमित करना।
- π को शुरू में ही 3.14 तक पूर्णांकित करना: सटीक उत्तर 25π और दशमलव 78.54 लगभग 0.04 से अलग हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- परिधि से वृत्त का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?
- पहले त्रिज्या निकालें, r = C / (2π), फिर A = πr² लगाएँ। दोनों को मिलाने पर A = C² / (4π) मिलता है। परिधि 10 वाले वृत्त का क्षेत्रफल 100 / (4π) = 25/π है, लगभग 7.96।
- त्रिज्या और व्यास में क्या अंतर है?
- त्रिज्या केंद्र से किनारे तक जाती है; व्यास केंद्र से होकर पूरे वृत्त के आर-पार जाता है, इसलिए d = 2r। क्षेत्रफल के सूत्र त्रिज्या लेते हैं, जबकि C = πd व्यास लेता है।
- वृत्त के चाप की लंबाई कैसे ज्ञात करें?
- त्रिज्या को केंद्रीय कोण से रेडियन में गुणा करें: s = rθ। यदि कोण डिग्री में है, तो पूरे चक्कर का भाग लें: s = (θ / 360°) × 2πr। त्रिज्या 3 वाले वृत्त के 60° चाप की लंबाई π है।
- त्रिज्यखंड और वृत्तखंड में क्या अंतर है?
- त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और चाप से घिरा टुकड़ा है, जैसे पिज़्ज़ा का स्लाइस। वृत्तखंड जीवा और उसके द्वारा काटे गए चाप के बीच का क्षेत्र है। वृत्तखंड, त्रिज्यखंड में से उस त्रिभुज को घटाने पर बचता है जो दो त्रिज्याओं और जीवा से बनता है।
- वृत्त की जीवा की लंबाई कैसे ज्ञात करें?
- c = 2r × sin(θ / 2), जहाँ θ केंद्रीय कोण है। यदि आप केंद्र से जीवा की दूरी d जानते हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय से c = 2√(r² − d²)। 180° की जीवा व्यास होती है।
- वृत्तखंड की ऊँचाई (sagitta) क्या है?
- सैगिटा वृत्तखंड की ऊँचाई है: जीवा के मध्य-बिंदु से चाप के मध्य-बिंदु तक की दूरी, h = r × (1 − cos(θ / 2))। यह मेहराब या लेंस का “उभार” है।
- कैलकुलेटर दशमलव के बजाय π क्यों दिखाता है?
- क्योंकि π अपरिमेय है, इसलिए कोई भी दशमलव एक अनुमान है, और वह उत्तर की संरचना भी छिपा देता है। 25π लिखने से परिणाम आगे के काम के लिए सटीक रहता है; जब आपको मापने के लिए संख्या चाहिए, तो दशमलव उसके साथ दिखाया जाता है।