Çember Hesaplayıcı
Bir çemberin yarıçapını, çapını, çevresini veya alanını girin; diğer üçünü π cinsinden tam değer olarak ve her adımıyla, ondalık karşılığıyla birlikte alın. Ardından bir merkez açı ekleyerek yay uzunluğunu, daire dilimi alanını, kirişi, dairesel segmenti ve segment yüksekliğini etiketli bir şekille birlikte bulun. Ücretsiz, üyelik gerektirmez; hesaplama tarayıcınızda yapılır.
Tam sayılar, ondalık sayılar ve 3/4 gibi kesirler. Çevre ve alan, cevabı tam tutmak için 10π gibi π'nin katı olarak yazılabilir.
Sonuçlar
| Ölçü | Tam değer | Ondalık |
|---|---|---|
| Yarıçap (r) | 5 cm | 5 cm |
| Çap (d) | 10 cm | 10 cm |
| Çevre (C) | 10π cm | 31,42 cm |
| Alan (A) | 25π cm² | 78,54 cm² |
Hesaplama
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
Yay, daire dilimi, kiriş ve segment
Bunlar yukarıda bulunan yarıçapı kullanır.
| Ölçü | Tam değer | Ondalık |
|---|---|---|
| Yay uzunluğu (s) | 5π/3 cm | 5,24 cm |
| Daire dilimi alanı | 25π/6 cm² | 13,09 cm² |
| Kiriş uzunluğu (c) | 5 cm | 5 cm |
| Segment alanı | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2,26 cm² |
| Segment yüksekliği (sagitta) | 5 − 5√3/2 cm | 0,67 cm |
| Daire dilimi çevresi | 10 + 5π/3 cm | 15,24 cm |
| Segment çevresi | 5 + 5π/3 cm | 10,24 cm |
Açının hesabı
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
Şekil
Çember Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Neyi bildiğinizi söyleyin. Yarıçap, çap, çevre veya alandan birini seçin ve değerini yazın. Tam sayılar, ondalık sayılar ve 3/4 gibi kesirler tam olarak okunur.
- 2. π ile tam tutun. Çevre veya alan, 10π ya da 25π gibi π'nin katı olarak yazılabilir ve yarıçap temiz bir sayı olarak çıkar. Düz bir sayı olarak yazılırsa, çevresi 10 olan bir çember için r = 5/π elde edilir.
- 3. Dört ölçüyü okuyun. Yarıçap, çap, çevre ve alan; tam biçimde ve seçtiğiniz basamağa yuvarlanmış ondalık sayılar olarak, altında hesaplama adımlarıyla birlikte görünür.
- 4. Bir merkez açı ekleyin. Açıyı derece olarak ya da pi/3 gibi π'nin katı biçiminde radyan olarak yazın. Ardından yay, daire dilimi, kiriş, segment ve segment yüksekliği (sagitta) etiketli bir çember üzerinde çizilir.
Çember Formülleri
| Bulunan | Formül | Notlar |
|---|---|---|
| Çap | d = 2r | Yarıçapın iki katı |
| Çevre | C = 2πr = πd | Çemberin etrafındaki uzunluk |
| Alan | A = πr² | İçindeki yüzey |
| Çevreden yarıçap | r = C / (2π) | C = 2πr eşitliğinin düzenlenmiş hâli |
| Alandan yarıçap | r = √(A / π) | A = πr² eşitliğinin düzenlenmiş hâli |
| Çevreden alan | A = C² / (4π) | r = C / (2π) yerine yazılır |
π sayısı, herhangi bir çemberin çevresinin çapına oranıdır; yaklaşık 3,14159. Rasyonel değildir, bu yüzden çember sorularının çoğunun tam cevabı içinde π bulunarak yazılır — 78,5398… yerine 25π — ve yuvarlama yalnızca en sonda yapılır.
Yay, Daire Dilimi, Kiriş ve Segment
Bir merkez açı θ, çemberi parçalara böler. En temiz formüller için θ'yı radyan olarak ölçün (180° = π radyan).
| Parça | Formül | Ne olduğu |
|---|---|---|
| Yay uzunluğu | s = r × θ | İki yarıçap arasındaki eğri kenar |
| Daire dilimi alanı | ½ × r² × θ | Merkezden yaya uzanan dilim |
| Kiriş | c = 2r × sin(θ / 2) | Yayın uçlarını birleştiren düz çizgi |
| Segment alanı | ½ × r² × (θ − sin θ) | Kiriş ile yay arasındaki bölge |
| Sagitta (segment yüksekliği) | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | Segmentin yüksekliği |
Segment, daire diliminden iki yarıçap ve kirişle oluşan üçgenin çıkarılmasıyla kalan kısımdır; bu üçgenin alanı ½r² sin θ'dır ve θ − sin θ ifadesi buradan gelir. θ 180°'nin üzerinde olduğunda formüller yine geçerlidir: o hâlde “segment” daha büyük parçadır ve sagitta yarıçapı aşar.
Çalışılmış Örnekler
- Yarıçaptan. r = 5 için d = 10, C = 10π ≈ 31,42 ve A = 25π ≈ 78,54.
- Çevreden. C = 10 için r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1,59 ve A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7,96. 10π olarak yazılırsa aynı çemberin r = 5'tir.
- Yarıçapı 3 olan 60°'lik daire dilimi. θ = π/3 olduğundan yay π ≈ 3,14, daire dilimi 3π/2 ≈ 4,71 ve kiriş 2 × 3 × sin 30° = 3'tür — üçgen eşkenar olduğu için kiriş yarıçapa eşittir.
- Segmenti. Segment alanı = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0,82 ve sagitta 3 − 3√3/2 ≈ 0,40'tır.
Kiriş ve segment tam olarak yazılabilir; sin(θ/2) ve sin θ kapalı bir biçime sahip olduğunda — yani sırasıyla 30°'nin ve 15°'nin katı açılarda. 50° gibi diğer açılarda yay ve daire dilimi yine tamdır, ancak kiriş ve segment ondalık sayı olarak verilir.
Sık Yapılan Hatalar
- Yarıçap gerektiren bir formülde çapı kullanmak: A = πr², πd² değil.
- s = rθ veya ½r²θ gibi radyan gerektiren formüllerde dereceyle hesaplama yapmak; hesaplayıcı dönüşümü sizin yerinize yapar.
- Daire dilimini (merkeze uzanan dilim) segmentle (bir kirişin kestiği kapak) karıştırmak.
- π'yi erken 3,14'e yuvarlamak: tam cevap 25π ile ondalık 78,54 yaklaşık 0,04 fark eder.
Sık sorulan sorular
- Bir çemberin alanını çevresinden nasıl bulursunuz?
- Önce yarıçapı bulun, r = C / (2π), sonra A = πr² kullanın. Bunları birleştirirsek A = C² / (4π) elde edilir. Çevresi 10 olan bir çemberin alanı 100 / (4π) = 25/π, yaklaşık 7,96'dır.
- Yarıçap ile çap arasındaki fark nedir?
- Yarıçap merkezden kenara uzanır; çap ise merkezden geçerek bir uçtan diğerine uzanır, bu yüzden d = 2r'dir. Alan formülleri yarıçapı kullanır; C = πd ise çapı kullanır.
- Bir çemberin yay uzunluğu nasıl bulunur?
- Yarıçapı merkez açının radyan cinsinden değeriyle çarpın: s = rθ. Açı dereceyle veriliyorsa tam turun payını alın: s = (θ / 360°) × 2πr. Yarıçapı 3 olan bir çemberin 60°'lik yayı π uzunluğundadır.
- Daire dilimi ile segment arasındaki fark nedir?
- Daire dilimi, iki yarıçapla yayın sınırladığı bölgedir; bir pizza dilimi gibi. Segment ise bir kiriş ile onun kestiği yay arasındaki bölgedir. Segment, daire diliminden iki yarıçap ve kirişle oluşan üçgenin çıkarılmasıyla elde edilir.
- Bir kirişin uzunluğu nasıl bulunur?
- c = 2r × sin(θ / 2), burada θ merkez açıdır. Bunun yerine kirişin merkeze olan uzaklığı d'yi biliyorsanız, Pisagor teoremine göre c = 2√(r² − d²). 180°'lik bir kiriş bir çaptır.
- Dairesel bir segmentin sagittası nedir?
- Sagitta, segmentin yüksekliğidir: kirişin orta noktasıyla yayın orta noktası arasındaki uzaklık, h = r × (1 − cos(θ / 2)). Bir kemerin ya da merceğin “kabarıklığı” budur.
- Hesaplayıcı neden ondalık sayı yerine π gösteriyor?
- π rasyonel olmadığı için her ondalık sayı bir yaklaşıklıktır ve cevabın yapısını gizler. 25π yazmak sonucu ileri işlemler için tam tutar; ölçmek için bir sayıya ihtiyacınız olduğunda ise yanında ondalık karşılığı gösterilir.