Công Cụ Tính Hình Tròn
Nhập bất kỳ một trong các đại lượng bán kính, đường kính, chu vi hoặc diện tích của hình tròn để nhận ba đại lượng còn lại — chính xác theo π, kèm dạng thập phân và từng bước tính. Sau đó thêm góc ở tâm để tìm độ dài cung, diện tích hình quạt, dây cung, hình viên phân và chiều cao viên phân, với hình vẽ có nhãn. Miễn phí, không cần đăng ký; công cụ chạy trong trình duyệt của bạn.
Số nguyên, số thập phân và phân số như 3/4. Chu vi và diện tích có thể viết dưới dạng bội của π, như 10π, để giữ đáp số ở dạng chính xác.
Kết quả
| Đại lượng | Chính xác | Thập phân |
|---|---|---|
| Bán kính (r) | 5 cm | 5 cm |
| Đường kính (d) | 10 cm | 10 cm |
| Chu vi (C) | 10π cm | 31,42 cm |
| Diện tích (A) | 25π cm² | 78,54 cm² |
Cách tính
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
Cung, hình quạt, dây cung và hình viên phân
Các phần này dùng bán kính đã tìm ở trên.
| Đại lượng | Chính xác | Thập phân |
|---|---|---|
| Độ dài cung (s) | 5π/3 cm | 5,24 cm |
| Diện tích hình quạt | 25π/6 cm² | 13,09 cm² |
| Độ dài dây cung (c) | 5 cm | 5 cm |
| Diện tích hình viên phân | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2,26 cm² |
| Chiều cao viên phân (sagitta) | 5 − 5√3/2 cm | 0,67 cm |
| Chu vi hình quạt | 10 + 5π/3 cm | 15,24 cm |
| Chu vi hình viên phân | 5 + 5π/3 cm | 10,24 cm |
Cách tính theo góc
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
Hình vẽ
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Hình Tròn
- 1. Cho biết bạn đã có gì. Chọn bán kính, đường kính, chu vi hoặc diện tích, rồi nhập giá trị. Số nguyên, số thập phân và phân số như 3/4 đều được đọc chính xác.
- 2. Giữ đáp số chính xác với π. Chu vi hoặc diện tích có thể nhập dưới dạng bội của π, như 10π hoặc 25π, và bán kính sẽ ra thành một số gọn. Nhập dưới dạng số thường, chu vi 10 cho r = 5/π.
- 3. Đọc bốn đại lượng. Bán kính, đường kính, chu vi và diện tích hiện ra ở dạng chính xác và dạng thập phân được làm tròn theo số chữ số bạn chọn, với phần tính nằm bên dưới.
- 4. Thêm góc ở tâm. Nhập góc theo độ, hoặc theo radian dưới dạng bội của π như pi/3. Độ dài cung, hình quạt, dây cung, hình viên phân và chiều cao viên phân sẽ hiện ra, được vẽ trên một hình tròn có nhãn.
Công Thức Hình Tròn
| Tìm | Công thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Đường kính | d = 2r | Bằng hai lần bán kính |
| Chu vi | C = 2πr = πd | Khoảng cách quanh hình tròn |
| Diện tích | A = πr² | Mặt phẳng bên trong |
| Bán kính từ chu vi | r = C / (2π) | Biến đổi từ C = 2πr |
| Bán kính từ diện tích | r = √(A / π) | Biến đổi từ A = πr² |
| Diện tích từ chu vi | A = C² / (4π) | Thay r = C / (2π) |
Số π là tỉ số giữa chu vi của bất kỳ hình tròn nào và đường kính của nó, khoảng 3,14159. Đây là số vô tỉ, nên đáp số chính xác của phần lớn bài toán về hình tròn được viết với π — 25π thay vì 78,5398… — và chỉ làm tròn ở bước cuối cùng.
Cung, Hình Quạt, Dây Cung và Hình Viên Phân
Một góc ở tâm θ chia hình tròn thành các phần. Đo θ theo radian (180° = π radian) để có các công thức gọn nhất.
| Phần | Công thức | Đó là gì |
|---|---|---|
| Độ dài cung | s = r × θ | Cạnh cong nối hai bán kính |
| Diện tích hình quạt | ½ × r² × θ | Phần hình quạt từ tâm đến cung |
| Dây cung | c = 2r × sin(θ / 2) | Đoạn thẳng nối hai đầu cung |
| Diện tích hình viên phân | ½ × r² × (θ − sin θ) | Vùng nằm giữa dây cung và cung |
| Chiều cao viên phân (sagitta) | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | Chiều cao của hình viên phân |
Hình viên phân là hình quạt trừ đi tam giác tạo bởi hai bán kính và dây cung, có diện tích ½r² sin θ — đó là nguồn gốc của θ − sin θ. Với θ lớn hơn 180°, các công thức vẫn đúng: khi đó "hình viên phân" là phần lớn hơn và chiều cao viên phân vượt quá bán kính.
Ví Dụ Minh Họa
- Từ bán kính. r = 5 cho d = 10, C = 10π ≈ 31,42 và A = 25π ≈ 78,54.
- Từ chu vi. C = 10 cho r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1,59, và A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7,96. Nhập là 10π, cùng hình tròn đó có r = 5.
- Hình quạt 60° bán kính 3. θ = π/3, nên cung là π ≈ 3,14, hình quạt là 3π/2 ≈ 4,71 và dây cung là 2 × 3 × sin 30° = 3 — bằng bán kính, vì tam giác này đều.
- Hình viên phân của nó. Diện tích hình viên phân = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0,82, và chiều cao viên phân là 3 − 3√3/2 ≈ 0,40.
Dây cung và hình viên phân có dạng chính xác khi sin(θ/2) và sin θ có dạng đóng — tức là với các góc là bội của 30° và 15° tương ứng. Với các góc khác, như 50°, cung và hình quạt vẫn chính xác nhưng dây cung và hình viên phân được cho dưới dạng thập phân.
Những Lỗi Thường Gặp
- Dùng đường kính trong công thức cần bán kính: A = πr², không phải πd².
- Tính bằng độ trong s = rθ hoặc ½r²θ, vốn cần radian; công cụ tự đổi đơn vị cho bạn.
- Nhầm hình quạt (phần cắt đến tâm) với hình viên phân (phần chỏm bị cắt ra bởi một dây cung).
- Làm tròn π thành 3,14 quá sớm: đáp số chính xác 25π và số thập phân 78,54 chênh nhau khoảng 0,04.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Làm thế nào để tìm diện tích hình tròn từ chu vi?
- Trước hết tìm bán kính, r = C / (2π), rồi dùng A = πr². Kết hợp hai bước được A = C² / (4π). Chu vi 10 cho diện tích 100 / (4π) = 25/π, khoảng 7,96.
- Sự khác nhau giữa bán kính và đường kính là gì?
- Bán kính đi từ tâm đến mép; đường kính đi qua tâm từ mép này sang mép kia, nên d = 2r. Công thức diện tích dùng bán kính, còn C = πd dùng đường kính.
- Làm thế nào để tìm độ dài cung của hình tròn?
- Nhân bán kính với góc ở tâm tính theo radian: s = rθ. Nếu góc tính theo độ, lấy phần của một vòng tròn đầy đủ: s = (θ / 360°) × 2πr. Cung 60° của hình tròn bán kính 3 dài π.
- Sự khác nhau giữa hình quạt và hình viên phân là gì?
- Hình quạt là phần được giới hạn bởi hai bán kính và cung, như một miếng pizza. Hình viên phân là vùng nằm giữa một dây cung và cung mà nó cắt ra. Hình viên phân bằng hình quạt trừ đi tam giác tạo bởi hai bán kính và dây cung.
- Làm thế nào để tìm độ dài dây cung?
- c = 2r × sin(θ / 2), với θ là góc ở tâm. Nếu thay vào đó bạn biết khoảng cách d từ tâm đến dây cung, thì c = 2√(r² − d²) theo định lý Pythagoras. Dây cung 180° chính là đường kính.
- Chiều cao viên phân (sagitta) là gì?
- Sagitta là chiều cao của hình viên phân: khoảng cách từ trung điểm của dây cung đến trung điểm của cung, h = r × (1 − cos(θ / 2)). Đó là phần "độ phình" của một vòm cuốn hoặc một thấu kính.
- Tại sao công cụ hiển thị π thay vì số thập phân?
- Vì π là số vô tỉ, mọi số thập phân đều chỉ là xấp xỉ, và cách viết đó còn che mất cấu trúc của đáp số. Viết 25π giữ kết quả chính xác cho các bước tính tiếp theo; số thập phân được hiển thị bên cạnh để bạn có một con số dùng để đo.