Công Cụ Tính Tốc Độ Biến Thiên Trung Bình
Nhập một hàm hoặc một bảng dữ liệu cùng hai giá trị x, bạn sẽ nhận được tốc độ biến thiên trung bình giữa chúng — tức độ dốc của đường cát tuyến — cùng Δy và Δx, phương trình đường cát tuyến, một câu với đơn vị của bạn (mét trên giây, đô la mỗi năm), một bảng cho thấy tốc độ tiến gần tốc độ tức thời ra sao khi khoảng thu nhỏ, và điểm của Định lý giá trị trung bình. Miễn phí, không cần đăng ký.
Dùng + − * / ^ và dấu ngoặc. Hàm: sin, cos, tan, exp, ln, log (cơ số 10), sqrt, abs và nhiều hàm khác. Hằng số: pi và e.
Một số hoặc hằng số, chẳng hạn 1, −2,5 hoặc pi/2.
Kết quả
4
Tốc độ biến thiên trung bình
8
Thay đổi của y, Δy
2
Thay đổi của x, Δx
1
y tại điểm đầu
9
y tại điểm cuối
Ý nghĩa
Từ x = 1 đến x = 3, y tăng thêm 8 khi x thay đổi 2: trung bình 4 trên mỗi đơn vị của x.
Đường cát tuyến
Tốc độ biến thiên trung bình là độ dốc của đường cát tuyến đi qua (a, f(a)) và (b, f(b)).
Thu hẹp khoảng
| h | Khoảng | Tốc độ trung bình |
|---|---|---|
| 1 | [1, 2] | 3 |
| 0,1 | [1, 1,1] | 2,1 |
| 0,01 | [1, 1,01] | 2,01 |
| 0,001 | [1, 1,001] | 2,001 |
| 0,0001 | [1, 1,0001] | 2,0001 |
Tốc độ trung bình trên [a, a + h] tiến tới tốc độ tức thời f′(1) = 2 khi h → 0.
Định lý giá trị trung bình
Có một điểm c giữa a và b mà tại đó tốc độ tức thời f′(c) bằng tốc độ trung bình này: c ≈ 2.
Đồ thị
- y = f(x)
- Đường cát tuyến (độ dốc 4)
- Tiếp tuyến song song với cát tuyến tại c
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Tốc Độ Biến Thiên Trung Bình
- 1. Chọn hàm hoặc bảng. Với hàm, gõ f(x), chẳng hạn
x^2hoặcsin(x). Với dữ liệu, dán một cặp "x; y" trên mỗi dòng; các giá trị x có thể theo thứ tự bất kỳ. - 2. Nhập khoảng. Ghi điểm đầu a và điểm cuối b. Với bảng, cả hai phải là các giá trị x có trong dữ liệu của bạn.
- 3. Thêm đơn vị nếu muốn. Gõ đơn vị của y (mét) và của x (giây) để nhận đáp án dưới dạng câu với "mét trên giây".
- 4. Đọc kết quả. Bạn nhận được tốc độ, Δy và Δx, đường cát tuyến và một đồ thị. Với hàm, bạn cũng thấy bảng giới hạn và điểm của Định lý giá trị trung bình.
Công Thức
Tốc độ biến thiên trung bình của f trên [a, b] là (f(b) − f(a)) / (b − a) — sự thay đổi của đầu ra chia cho sự thay đổi của đầu vào, tức là độ tăng chia cho độ chạy. Về hình học, đó là độ dốc của đường cát tuyến đi qua các điểm (a, f(a)) và (b, f(b)). Nó âm khi f giảm nói chung, bằng không khi f kết thúc ở đúng chỗ nó bắt đầu, và có thể tính trên bất kỳ khoảng nào, kể cả khoảng mà f tăng rồi giảm ở giữa.
Ví Dụ Minh Họa
Một hàm. Với f(x) = x² trên [1, 3]: f(1) = 1 và f(3) = 9, nên tốc độ là (9 − 1)/(3 − 1) = 4, và đường cát tuyến là y = 4x − 3. Tốc độ tức thời tại x = 1 là f′(1) = 2, còn các tốc độ trung bình trên [1, 1 + h] là 3 (h = 1), 2,1 (h = 0,1) và 2,01 (h = 0,01): chúng tiến về 2 khi h thu nhỏ. Định lý giá trị trung bình đảm bảo một điểm c trong (1, 3) với f′(c) = 4; ở đây f′(x) = 2x, nên c = 2.
Một bảng. Một quả bóng thả từ trạng thái nghỉ đã rơi được 0; 4,9; 19,6; 44,1 và 78,4 mét sau 0, 1, 2, 3 và 4 giây. Giữa t = 1 và t = 3, quãng đường tăng từ 4,9 lên 44,1, nên tốc độ trung bình là (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = 19,6 mét trên giây. Tốc độ giữa các giây liên tiếp là 4,9; 14,7; 24,5 và 34,3 m/s, tăng đều vì quả bóng đang gia tốc.
Tốc Độ Trung Bình và Tốc Độ Tức Thời
Tốc độ trung bình mô tả cả một khoảng; tốc độ tức thời là đạo hàm, tức giới hạn của tốc độ trung bình khi khoảng thu nhỏ lại thành một điểm. Khi các tốc độ trung bình hội tụ về một con số, con số đó là f′(a). Nếu bạn chỉ có một bảng dữ liệu thì không thể lấy giới hạn đó, nhưng khoảng cách giữa các phép đo càng nhỏ thì tốc độ trung bình càng ước lượng tốt tốc độ tức thời. Đừng nhầm tốc độ biến thiên trung bình với giá trị trung bình của một hàm, (1/(b − a))∫ f(x)dx, tức độ cao trung bình của đồ thị chứ không phải độ dốc trung bình của nó.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Làm thế nào để tìm tốc độ biến thiên trung bình?
- Trừ các giá trị của hàm tại hai đầu rồi chia cho hiệu của các đầu vào: (f(b) − f(a))/(b − a). Với bảng, đọc các giá trị y tại hai giá trị x rồi làm tương tự.
- Tốc độ biến thiên trung bình âm nghĩa là gì?
- Nghĩa là đầu ra giảm nói chung trong khoảng đó: đường cát tuyến dốc xuống. Nó không cho biết điều gì xảy ra ở giữa, vì hàm có thể đã tăng trước rồi mới giảm xuống thấp hơn.
- Khác gì với độ dốc của đường thẳng?
- Với một đường thẳng, tốc độ biến thiên trung bình giống nhau trên mọi khoảng và bằng độ dốc. Với đường cong, nó phụ thuộc vào khoảng được chọn, đó là lý do cần đến khái niệm tốc độ tức thời (đạo hàm).
- Làm thế nào để đưa đơn vị vào?
- Đơn vị của tốc độ là đơn vị của y chia cho đơn vị của x. Nếu y là quãng đường tính bằng mét và x là thời gian tính bằng giây, tốc độ tính bằng mét trên giây. Gõ hai đơn vị vào công cụ để nhận câu được viết sẵn cho bạn.
- Định lý giá trị trung bình trong ngữ cảnh này là gì?
- Nếu f liên tục trên [a, b] và khả vi bên trong khoảng đó, thì tại một điểm nào đó c trong (a, b), tốc độ tức thời f′(c) bằng tốc độ trung bình trên [a, b]: tiếp tuyến tại c song song với cát tuyến. Công cụ tìm các điểm như vậy bằng số và vẽ một tiếp tuyến.
- Tôi có dùng được cho dữ liệu không cách đều nhau không?
- Có. Tốc độ giữa hai giá trị x bất kỳ bạn chọn là chính xác với dữ liệu của bạn, và bảng tốc độ giữa các điểm liên tiếp xử lý được các khoảng cách không đều vì mỗi hàng chia cho Δx riêng của nó.