Công Cụ Tính Giai Thừa
Nhập một số nguyên n để nhận n! chính xác, từng chữ số, cùng giai thừa kép n!!, số chữ số và số chữ số 0 ở cuối, và xấp xỉ Stirling kèm sai số. Số thập phân được xử lý bằng hàm gamma. Miễn phí, không cần đăng ký, và không làm tròn kết quả nào.
Một số nguyên từ 0 đến 10.000. Số thập phân như 4,5 dùng hàm gamma.
Kết Quả
2.432.902.008.176.640.000
n!
19
Số chữ số của n!
4
Chữ số 0 cuối
3.715.891.200
Giai thừa kép, n!!
≈ 2.4227868 × 10^18
Xấp xỉ Stirling
0,416%
Mức thấp hơn n! bao nhiêu
0,000831%
Sai số với hiệu chỉnh 1/(12n)
Cách tính
- 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, nên mỗi giai thừa bằng giai thừa trước nhân với 20.
- Mỗi chữ số 0 cuối đến từ thừa số 10 = 2 × 5, và số 5 hiếm hơn số 2. Đếm chúng: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
- Giai thừa kép nhân mọi số thứ hai: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.715.891.200.
- Công thức Stirling √(2πn) (n/e)ⁿ cho khoảng 2.4227868 × 10^18, thấp hơn giá trị chính xác 0,416%.
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Giai Thừa
- 1. Nhập n. Một số nguyên từ 0 đến 10.000. Kết quả cập nhật khi bạn gõ.
- 2. Đọc giá trị chính xác. Các giai thừa nhỏ hiển thị có dấu phân cách hàng nghìn. Giai thừa lớn hơn hiển thị tiêu đề dạng ký hiệu khoa học và mọi chữ số trong một ô cuộn có nút sao chép.
- 3. Xem thêm thông tin. Bạn cũng nhận được số chữ số, các chữ số 0 ở cuối, giai thừa kép n!!, và xấp xỉ Stirling cùng mức thấp hơn n! mà nó bị lệch.
- 4. Thử một số thập phân. Với giá trị như 4,5, công cụ trả về Γ(5,5) = 4,5!, vì hàm gamma mở rộng giai thừa cho mọi số trừ các số nguyên âm.
Giai Thừa Là Gì
Giai thừa của một số nguyên không âm n, viết là n!, là tích của mọi số nguyên từ 1 đến n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Nó đếm số cách sắp xếp n vật khác nhau thành một hàng — ba cuốn sách có thể xếp theo 3! = 6 thứ tự — và là nền tảng của hoán vị, tổ hợp và định lý nhị thức. Mỗi giai thừa bằng giai thừa trước nhân với n: n! = n × (n − 1)!.
Vì sao 0! bằng 1? Theo quy tắc n! = n × (n − 1)! xuống đến n = 1 ta có 1! = 1 × 0!, điều này chỉ đúng nếu 0! = 1. Nó cũng khớp với ý nghĩa đếm (chỉ có đúng một cách sắp xếp không có gì) và với quy ước rằng tích rỗng bằng 1.
| n | n! | Chữ số 0 cuối |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 3 | 6 | 0 |
| 4 | 24 | 0 |
| 5 | 120 | 1 |
| 6 | 720 | 1 |
| 7 | 5.040 | 1 |
| 8 | 40.320 | 1 |
| 9 | 362.880 | 1 |
| 10 | 3.628.800 | 2 |
| 15 | 1.307.674.368.000 | 3 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 | 4 |
Chữ Số 0 Cuối: Công Thức Legendre
Một chữ số 0 ở cuối n! đến từ thừa số 10 = 2 × 5. Luôn có nhiều thừa số 2 hơn thừa số 5, nên số chữ số 0 cuối bằng số lần xuất hiện của 5 trong 1 × 2 × … × n. Hãy đếm các bội của 5, cộng thêm các bội của 25 (mỗi số này giấu thêm một số 5), rồi đến bội của 125, và cứ thế: số chữ số 0 = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Với 100!, con số là 20 + 4 = 24 chữ số 0 cuối. Tổng cộng 100! có 158 chữ số.
Xấp Xỉ Stirling
Với n lớn, n! được xấp xỉ bằng √(2πn) (n/e)ⁿ. Xấp xỉ này luôn thấp hơn giá trị thật một chút, theo tỉ lệ tương đối khoảng 1/(12n): 0,83% với n = 10 (3,5986956 × 10⁶ so với 3.628.800) và 0,083% với n = 100 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ so với 9,3326215 × 10¹⁵⁷). Nhân với (1 + 1/(12n)) loại bỏ phần lớn sai số. Xấp xỉ này cho phép ước lượng kích cỡ của các giai thừa khổng lồ chỉ từ logarit.
Giai Thừa Kép và Hàm Gamma
Giai thừa kép n!! nhân mọi số thứ hai tính xuống từ n: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945, và 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Nó không phải là (n!)!. Theo quy ước 0!! = 1, và n!! × (n − 1)!! = n!. Hàm gamma Γ(x) tổng quát hóa giai thừa: Γ(n + 1) = n! với n nguyên, và cũng được định nghĩa cho số thập phân, chẳng hạn (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862. Nó không có giá trị tại 0 và các số nguyên âm, nên (−1)! và (−2)! không tồn tại.
Giai thừa có thể lớn đến mức nào trên máy tính?
20! = 2.432.902.008.176.640.000 là giai thừa lớn nhất vừa một số nguyên có dấu 64 bit, còn 170! ≈ 7,26 × 10³⁰⁶ là giai thừa lớn nhất vừa một số dấu phẩy động độ chính xác kép. Công cụ này dùng số nguyên có kích thước tùy ý, nên 10.000! được tính chính xác, với 35.660 chữ số.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Vì sao 0! bằng 1?
- Vì quy tắc giai thừa n! = n × (n − 1)! phải đúng với n = 1, cho ra 1 = 1 × 0!. Điều này cũng khớp với ý nghĩa đếm: có đúng một cách sắp xếp không vật nào, và tích rỗng của không số nào bằng 1.
- 100! kết thúc bằng bao nhiêu chữ số 0?
- 24. Đếm các thừa số 5: ⌊100/5⌋ = 20 bội của 5 cộng ⌊100/25⌋ = 4 bội của 25 được 24, và có đủ số 2 để ghép với chúng.
- Có tính được giai thừa của số âm hoặc số thập phân không?
- Không với số nguyên âm, vì hàm gamma có cực điểm tại đó. Số thập phân và số âm không nguyên vẫn tính được qua Γ(n + 1): 4,5! ≈ 52,34 và (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.
- Giai thừa kép là gì?
- n!! là tích các số từ n giảm dần xuống 1 hoặc 2 theo bước hai, nên 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 và 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.840. Nó khác với (n!)!, vốn là một số khổng lồ.
- Có bao nhiêu cách sắp xếp 52 quân bài?
- 52! = 8,0658175… × 10⁶⁷, một số 68 chữ số. Trên thực tế, mọi bộ bài được xáo kỹ đều là một cách sắp xếp chưa từng có ai thấy trước đó.
- Xấp xỉ Stirling chính xác đến mức nào?
- Sai số tương đối khoảng 1/(12n), nên nó thấp hơn 0,83% với n = 10 và thấp hơn 0,083% với n = 100. Công cụ hiển thị sai số chính xác với n của bạn, và sai số sau khi thêm hiệu chỉnh 1/(12n).