Faculteitscalculator

Resultaten

De berekening

• 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, dus elke faculteit is de vorige vermenigvuldigd met 20.
• Elke nul aan het eind komt van een factor 10 = 2 × 5, en vijven komen minder vaak voor dan tweeën. Ze tellen: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
• De dubbele faculteit vermenigvuldigt elk tweede getal: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.715.891.200.
• Stirlings formule √(2πn) (n/e)ⁿ geeft ongeveer 2.4227868 × 10^18, wat 0,416% onder de exacte waarde ligt.

Zo gebruik je de faculteitscalculator

1. 1. Voer n in. Elk geheel getal van 0 tot 10.000. Het resultaat wordt bijgewerkt terwijl je typt.
2. 2. Lees de exacte waarde af. Kleine faculteiten verschijnen met cijfergroepen. Grotere tonen een kopregel in wetenschappelijke notatie en alle cijfers in een scrollbaar vak met een kopieerknop.
3. 3. Bekijk de extra’s. Je krijgt ook het aantal cijfers, de nullen aan het eind, de dubbele faculteit n!! en Stirlings benadering met hoeveel die onder n! ligt.
4. 4. Probeer een decimaal getal. Voor een waarde zoals 4,5 geeft de calculator Γ(5,5) = 4,5!, want de gammafunctie breidt de faculteit uit tot elk getal behalve de negatieve gehele getallen.

Wat een faculteit is

De faculteit van een geheel getal n vanaf nul, geschreven als n!, is het product van alle gehele getallen van 1 tot en met n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Het telt op hoeveel manieren n verschillende dingen op een rij gezet kunnen worden — drie boeken kun je in 3! = 6 volgordes in de kast zetten — en het is de bouwsteen van permutaties, combinaties en de binomiaalstelling. Elke faculteit is de vorige keer n: n! = n × (n − 1)!.

Waarom is 0! gelijk aan 1? Als je de regel n! = n × (n − 1)! doorvoert tot n = 1, krijg je 1! = 1 × 0!, en dat klopt alleen als 0! = 1. Het past ook bij de telbetekenis (er is precies één manier om niets te ordenen) en bij de afspraak dat een leeg product gelijk is aan 1.

Nullen aan het eind: de formule van Legendre

Een nul aan het eind van n! komt van een factor 10 = 2 × 5. Er zijn altijd meer factoren 2 dan factoren 5, dus het aantal nullen aan het eind is gelijk aan het aantal 5-en in 1 × 2 × … × n. Tel de veelvouden van 5, tel de veelvouden van 25 erbij (elk verbergt een tweede 5), dan die van 125, enzovoort: nullen = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Voor 100! is dat 20 + 4 = 24 nullen aan het eind. 100! heeft in totaal 158 cijfers.

Stirlings benadering

Voor grote n wordt n! benaderd door √(2πn) (n/e)ⁿ. Die benadering komt altijd iets onder de echte waarde uit, met een relatieve fout van ongeveer 1/(12n): 0,83% bij n = 10 (3,5986956 × 10⁶ tegenover 3.628.800) en 0,083% bij n = 100 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ tegenover 9,3326215 × 10¹⁵⁷). Door te vermenigvuldigen met (1 + 1/(12n)) verdwijnt het grootste deel van de fout. Met de benadering kun je de omvang van enorme faculteiten alleen met logaritmen schatten.

Dubbele faculteit en de gammafunctie

De dubbele faculteit n!! vermenigvuldigt elk tweede getal vanaf n naar beneden: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945, en 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Het is niet (n!)!. Volgens afspraak is 0!! = 1, en geldt n!! × (n − 1)!! = n!. De gammafunctie Γ(x) veralgemeniseert de faculteit: Γ(n + 1) = n! voor gehele n, en ze is ook gedefinieerd voor decimale getallen, zoals (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862. Bij nul en de negatieve gehele getallen heeft ze geen waarde, dus (−1)! en (−2)! bestaan niet.

Veelgestelde vragen

Waarom is 0! gelijk aan 1?

Omdat de regel n! = n × (n − 1)! ook bij n = 1 moet kloppen, wat 1 = 1 × 0! geeft. Het past ook bij de telbetekenis: er is precies één manier om nul voorwerpen te ordenen, en het lege product van geen getallen is 1.

Met hoeveel nullen eindigt 100!?

Met 24. Tel de factoren 5: ⌊100/5⌋ = 20 veelvouden van 5 plus ⌊100/25⌋ = 4 veelvouden van 25 geeft 24, en er zijn meer dan genoeg factoren 2 om ze mee te paren.

Kun je de faculteit van een negatief getal of een decimaal getal nemen?

Niet van een negatief geheel getal, want daar heeft de gammafunctie polen. Decimale getallen en negatieve niet-gehele getallen werken via Γ(n + 1): 4,5! ≈ 52,34 en (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.

Wat is een dubbele faculteit?

n!! is het product van de getallen van n naar beneden tot 1 of 2, in stappen van twee: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 en 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.840. Het is iets anders dan (n!)!, dat een enorm getal zou zijn.

Hoeveel manieren zijn er om 52 speelkaarten te ordenen?

52! = 8,0658175… × 10⁶⁷, een getal van 68 cijfers. Elk goed geschud spel is in de praktijk een volgorde die nog nooit eerder is voorgekomen.

Hoe nauwkeurig is Stirlings benadering?

De relatieve fout is ongeveer 1/(12n), dus ze ligt 0,83% te laag voor n = 10 en 0,083% te laag voor n = 100. De calculator toont de exacte fout voor jouw n, en de fout na toevoeging van de correctie 1/(12n).