Binomiaalontwikkelingscalculator
Voer de twee termen van een binomium en een macht n in, en krijg de volledige uitwerking van (a + b)ⁿ met exacte coëfficiënten, een tabel van elke term en de formule van de algemene term. Vraag naar de 3e term, of naar de coëfficiënt van x⁴, of naar de term zonder x. Termen mogen getallen, een letter zoals x, of beide zijn — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Gratis, zonder registratie.
Een getal, een variabele of beide: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Slechts één letter.
Een geheel getal van 0 tot 100.
Van 1 tot n + 1, geteld vanaf de eerste term.
Voer p in. Gebruik 0 voor de term zonder x.
Resultaten
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
Uitwerking van (2x + 3)⁵
6
Termen na samenvoegen
3125
Som van de coëfficiënten
Algemene term
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, voor k = 0, 1, …, 5
Als je elke variabele op 1 zet, wordt de uitwerking een getal: (2 + 3)⁵ = 3125.
Term 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Term voor term
| k | C(n, k) | a-deel | b-deel | Term |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
Zo gebruik je de binomiaalontwikkelingscalculator
- 1. Voer de twee termen in. Schrijf a en b zoals je dat op papier zou doen:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Een term mag één letter gebruiken, en de twee termen mogen dezelfde of verschillende letters gebruiken. Zet het teken van b in b: voor (x − 2)ⁿ voer je-2in. - 2. Voer de macht in. Elk geheel getal van 0 tot 100.
- 3. Zoek eventueel één term. Typ een termnummer om te zien hoe die term is opgebouwd, of een macht p om de coëfficiënt van xᵖ te krijgen — gebruik 0 voor de term zonder x.
- 4. Lees de resultaten. De uitwerking verschijnt bovenaan, met de som van de coëfficiënten, de formule van de algemene term, en een tabel die voor elke term de binomiaalcoëfficiënt en de a- en b-delen toont.
De binomiumstelling
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
Van de eerste naar de laatste term daalt de macht van a van n naar 0, terwijl de macht van b stijgt van 0 naar n, en de twee machten tellen altijd op tot n. De coëfficiënten C(n, k) zijn de getallen uit rij n van de driehoek van Pascal: 1, 4, 6, 4, 1 voor n = 4. De algemene term, de (k + 1)-de term, is T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, en een uitwerking van (a + b)ⁿ heeft n + 1 termen voordat gelijksoortige termen worden samengevoegd.
Uitgewerkte voorbeelden
- (2x + 3)⁵. De coëfficiënten zijn 1, 5, 10, 10, 5, 1, en elke term gebruikt (2x)⁵⁻ᵏ en 3ᵏ: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. De 3e term is C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Ter controle: x = 1 geeft (2 + 3)⁵ = 3125, precies de som van de coëfficiënten.
- (x − 2)³. Met b = −2 wisselen de tekens af: x³ − 6x² + 12x − 8.
- Coëfficiënt van x³ in (1 + x)¹⁰. Voer a = 1, b = x, n = 10 in en vraag naar p = 3. De term is C(10, 3)·1⁷·x³, dus de coëfficiënt is 120.
- De term zonder x in (x² + 1/x)⁶. Voer a =
x^2en b =x^-1in. Term k heeft x tot de macht 2(6 − k) − k = 12 − 3k. Dat is 0 bij k = 4, dus de constante term is C(6, 4) = 15.
| Veelgemaakte fout | Juiste aanpak |
|---|---|
| (2x)⁵ schrijven als 2x⁵ | De hele term wordt tot de macht verheven: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| Het teken van b kwijtraken | Behandel (x − 2)ⁿ als (x + (−2))ⁿ, zodat oneven machten van b negatief zijn |
| Termen vanaf 1 tellen in de formule | Termnummer r gebruikt k = r − 1, dus de eerste term heeft k = 0 |
| (a + b)⁻¹ of (a + b)^(1/2) zo uitwerken | Dat zijn oneindige reeksen, geen eindige sommen — zie de Taylor Series Calculator |
Veelgestelde vragen
- Hoe werk je (a + b)^n uit?
- Tel C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ op voor k = 0 tot n. De coëfficiënten C(n, k) komen uit rij n van de driehoek van Pascal. Voor (x + 1)⁴ geven de coëfficiënten 1, 4, 6, 4, 1 x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- Hoe vind ik een specifieke term van een binomiaalontwikkeling?
- Gebruik de algemene term T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. De 4e term heeft k = 3. Wil je in plaats daarvan de term met xᵖ vinden, bepaal dan de macht van x in term k, stel die gelijk aan p, los k op en reken die term uit.
- Hoe vind ik de term die niet van x afhangt?
- Schrijf de macht van x in de algemene term als functie van k, stel die gelijk aan 0 en los k op. Is k een geheel getal van 0 tot n, dan is de constante term C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ; zo niet, dan is er geen constante term. Voer p = 0 in de calculator in om dit automatisch te doen.
- Uit hoeveel termen bestaat een binomiaalontwikkeling?
- n + 1 termen voor (a + b)ⁿ, van k = 0 tot k = n. Sommige kunnen samenvallen of wegvallen wanneer a en b dezelfde variabele bevatten. (x + x)ⁿ wordt samengevoegd tot één term, 2ⁿxⁿ.
- Wat is de som van de coëfficiënten?
- Stel elke variabele gelijk aan 1: de som van de coëfficiënten van (ax + b)ⁿ is (a + b)ⁿ. Voor (2x + 3)⁵ is dat 5⁵ = 3125. Het is een snelle controle op je uitwerking.
- Kan de macht negatief zijn of een breuk?
- Niet met de eindige binomiumstelling. (1 + x)⁻¹ en (1 + x)^(1/2) worden oneindige reeksen, geldig wanneer |x| < 1, wat de Taylor Series Calculator afhandelt. Voor machten van gehele getallen van 0 tot 100 geeft deze calculator exacte eindige uitwerkingen.
- Wat heeft dit met de driehoek van Pascal te maken?
- Rij n van de driehoek van Pascal geeft C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), die precies de coëfficiënten van (a + b)ⁿ zijn wanneer a en b coëfficiënt 1 hebben. De Pascal's Triangle Generator drukt zoveel rijen af als je wilt.