Calculadora de desarrollo binomial
Introduce los dos términos de un binomio y una potencia n para obtener el desarrollo completo de (a + b)ⁿ con coeficientes exactos, una tabla de cada término y la fórmula del término general. Pide el 3.er término, el coeficiente de x⁴ o el término sin x. Los términos pueden ser números, una letra como x, o ambos: 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Gratis, sin registro.
Un número, una variable o ambos: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Una sola letra.
Un número entero de 0 a 100.
De 1 a n + 1, contando desde el primer término.
Introduce p. Usa 0 para el término sin x.
Resultados
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
Desarrollo de (2x + 3)⁵
6
Términos tras combinar
3125
Suma de los coeficientes
Término general
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, para k = 0, 1, …, 5
Si cada variable vale 1, el desarrollo se convierte en un número: (2 + 3)⁵ = 3125.
Término 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Término por término
| k | C(n, k) | Parte de a | Parte de b | Término |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
Cómo usar la calculadora de desarrollo binomial
- 1. Introduce los dos términos. Escribe a y b como lo harías en papel:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Un término puede usar una letra, y los dos términos pueden usar la misma letra o letras distintas. Pon el signo de b en b: para (x − 2)ⁿ introduce-2. - 2. Introduce la potencia. Cualquier número entero de 0 a 100.
- 3. Opcionalmente, busca un término. Escribe un número de término para ver cómo se construye, o una potencia p para obtener el coeficiente de xᵖ; usa 0 para el término sin x.
- 4. Lee los resultados. El desarrollo aparece arriba, con la suma de sus coeficientes, la fórmula del término general y una tabla que muestra el coeficiente binomial de cada término y sus partes a y b.
El teorema del binomio
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
Del primer término al último, la potencia de a baja de n a 0 mientras la de b sube de 0 a n, y las dos potencias siempre suman n. Los coeficientes C(n, k) son las entradas de la fila n del triángulo de Pascal: 1, 4, 6, 4, 1 para n = 4. El término general, el (k + 1)-ésimo término, es T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, y un desarrollo de (a + b)ⁿ tiene n + 1 términos antes de que se combinen los términos semejantes.
Ejemplos desarrollados
- (2x + 3)⁵. Los coeficientes son 1, 5, 10, 10, 5, 1, y cada término usa (2x)⁵⁻ᵏ y 3ᵏ: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. El 3.er término es C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Como comprobación, si x = 1 se obtiene (2 + 3)⁵ = 3125, que es exactamente la suma de los coeficientes.
- (x − 2)³. Con b = −2 los signos se alternan: x³ − 6x² + 12x − 8.
- Coeficiente de x³ en (1 + x)¹⁰. Introduce a = 1, b = x, n = 10, y pide p = 3. El término es C(10, 3)·1⁷·x³, así que el coeficiente es 120.
- El término sin x en (x² + 1/x)⁶. Introduce a =
x^2, b =x^-1. El término k tiene x elevado a 2(6 − k) − k = 12 − 3k. Eso vale 0 cuando k = 4, así que el término constante es C(6, 4) = 15.
| Error frecuente | Enfoque correcto |
|---|---|
| Escribir (2x)⁵ como 2x⁵ | Todo el término se eleva a la potencia: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| Perder el signo de b | Trata (x − 2)ⁿ como (x + (−2))ⁿ, de modo que las potencias impares de b son negativas |
| Contar los términos desde 1 en la fórmula | El número de término r usa k = r − 1, así que el primer término tiene k = 0 |
| Desarrollar (a + b)⁻¹ o (a + b)^(1/2) de esta forma | Esos desarrollos son series infinitas, no sumas finitas: consulta la Calculadora de series de Taylor |
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se desarrolla (a + b)^n?
- Suma C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ para k desde 0 hasta n. Los coeficientes C(n, k) salen de la fila n del triángulo de Pascal. Para (x + 1)⁴, los coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 dan x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- ¿Cómo se halla un término concreto de un desarrollo binomial?
- Usa el término general T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. El 4.º término tiene k = 3. Para encontrar en cambio el término que contiene xᵖ, calcula la potencia de x en el término k, iguálala a p, despeja k y calcula ese término.
- ¿Cómo se halla el término independiente de x?
- Escribe la potencia de x en el término general como función de k, iguálala a 0 y despeja k. Si k es un número entero de 0 a n, el término constante es C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ; si no, no hay término constante. Introduce p = 0 en la calculadora para hacerlo automáticamente.
- ¿Cuántos términos tiene un desarrollo binomial?
- n + 1 términos para (a + b)ⁿ, de k = 0 a k = n. Algunos pueden combinarse o desaparecer cuando a y b contienen la misma variable. (x + x)ⁿ se reduce a un solo término, 2ⁿxⁿ.
- ¿Cuál es la suma de los coeficientes?
- Haz que cada variable valga 1: la suma de los coeficientes de (ax + b)ⁿ es (a + b)ⁿ. Para (2x + 3)⁵ es 5⁵ = 3125. Es una comprobación rápida de tu desarrollo.
- ¿Puede la potencia ser negativa o fraccionaria?
- No con el teorema del binomio finito. (1 + x)⁻¹ y (1 + x)^(1/2) se desarrollan en series infinitas, válidas cuando |x| < 1, que maneja la Calculadora de series de Taylor. Para potencias enteras de 0 a 100, esta calculadora da desarrollos finitos exactos.
- ¿Qué relación tiene con el triángulo de Pascal?
- La fila n del triángulo de Pascal enumera C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), que son exactamente los coeficientes de (a + b)ⁿ cuando a y b tienen coeficiente 1. El Generador del triángulo de Pascal imprime tantas filas como quieras.