二項展開計算ツール
二項式の2つの項と冪nを入力すると、(a + b)ⁿの完全な展開が、正確な係数、各項の表、一般項の公式とともに得られます。3番目の項や、x⁴の係数、xを含まない項を求めることもできます。項は数字、xのような文字、またはその両方（2x、−3y²、x⁻¹、1/2）にできます。無料で、登録は不要です。
数字、変数、またはその両方: 2x、−3y、x^2、1/2、x^-1。文字は1つだけです。
0から100までの整数。
1からn + 1まで。最初の項を1として数えます。
pを入力します。xを含まない項には0を使います。
結果
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
(2x + 3)⁵の展開
6
まとめた後の項
3125
係数の和
一般項
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, k = 0, 1, …, 5
すべての変数を1とおくと、展開は1つの数になります: (2 + 3)⁵ = 3125。
第3項
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
項ごとの一覧
| k | C(n, k) | aの部分 | bの部分 | 項 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
二項展開計算ツールの使い方
- 1. 2つの項を入力します。 aとbを紙に書くように書きます。
2x、-3y^2、x^-1、1/2、(3/4)xのように書けます。項には1つの文字を使えます。2つの項は同じ文字でも別の文字でも構いません。bの符号はbに含めてください。(x − 2)ⁿ なら-2と入力します。 - 2. 冪を入力します。 0から100までの任意の整数です。
- 3. 任意で1つの項を探します。 項の番号を入力すると、その項の作り方がわかります。冪pを入力すると、xᵖの係数が得られます。xを含まない項には0を使ってください。
- 4. 結果を読みます。 展開が上に表示され、係数の和、一般項の公式、各項の二項係数とaおよびbの部分を示す表が続きます。
二項定理
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
最初の項から最後の項へ進むと、aの冪はnから0へ下がり、bの冪は0からnへ上がります。2つの冪の和は常にnです。係数C(n, k)は、パスカルの三角形のn行目の数で、n = 4なら 1、4、6、4、1 です。一般項、つまり (k + 1) 番目の項は T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ で、(a + b)ⁿ の展開は、同類項をまとめる前に n + 1 個の項を持ちます。
具体例
- (2x + 3)⁵。 係数は 1、5、10、10、5、1 で、各項は (2x)⁵⁻ᵏ と 3ᵏ を使います。展開は 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243 です。3番目の項は C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³ です。確認として x = 1 を代入すると (2 + 3)⁵ = 3125 で、これは係数の和そのものです。
- (x − 2)³。 b = −2 のとき符号は交互になり、x³ − 6x² + 12x − 8 です。
- (1 + x)¹⁰ の x³ の係数。 a = 1、b = x、n = 10 と入力し、p = 3 を指定します。項は C(10, 3)·1⁷·x³ なので、係数は120です。
- (x² + 1/x)⁶ のxを含まない項。 a =
x^2、b =x^-1と入力します。k番目の項のxの冪は 2(6 − k) − k = 12 − 3k です。これは k = 4 のとき0になるので、定数項は C(6, 4) = 15 です。
| よくある間違い | 正しい考え方 |
|---|---|
| (2x)⁵ を 2x⁵ と書く | 項全体を冪乗します: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| bの符号を失う | (x − 2)ⁿ を (x + (−2))ⁿ と考えると、bの奇数乗は負になります |
| 公式で項を1から数える | 項の番号 r は k = r − 1 を使うので、最初の項は k = 0 です |
| (a + b)⁻¹ や (a + b)^(1/2) をこの方法で展開する | それらは有限和ではなく無限級数です — Taylor Series Calculator を参照してください |
よくある質問
- (a + b)^n はどのように展開しますか？
- C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ を k = 0 から n まで足し合わせます。係数 C(n, k) はパスカルの三角形のn行目から得られます。(x + 1)⁴ の場合、係数 1、4、6、4、1 から x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1 が得られます。
- 二項展開の特定の項はどのように求めますか？
- 一般項 T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ を使います。4番目の項は k = 3 です。代わりに xᵖ を含む項を求めるには、項 k の x の冪を求め、それを p と等しくおいて k を解き、その項を計算します。
- xを含まない項はどのように求めますか？
- 一般項のxの冪をkの関数として書き、0と等しくおいて k を解きます。kが0からnまでの整数なら、定数項は C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ です。整数でなければ定数項はありません。このツールでは p = 0 を入力すると自動で求められます。
- 二項展開には項がいくつありますか？
- (a + b)ⁿ には n + 1 個の項があり、k = 0 から k = n までです。aとbが同じ文字を含む場合、一部の項がまとまったり消えたりすることがあります。(x + x)ⁿ は1つの項 2ⁿxⁿ にまとまります。
- 係数の和とは何ですか？
- すべての変数を1とおきます。(ax + b)ⁿ の係数の和は (a + b)ⁿ です。(2x + 3)⁵ なら 5⁵ = 3125 です。展開の検算に役立ちます。
- 冪は負の数や分数にできますか？
- 有限の二項定理では扱えません。(1 + x)⁻¹ や (1 + x)^(1/2) は無限級数に展開され、|x| < 1 のときに成り立ちます。これは Taylor Series Calculator が扱います。このツールは、0から100までの整数の冪について、正確な有限の展開を与えます。
- パスカルの三角形とはどう関係しますか？
- パスカルの三角形のn行目は C(n, 0)、C(n, 1)、…、C(n, n) を並べたもので、aとbの係数が1のとき、これがそのまま (a + b)ⁿ の係数になります。Pascal's Triangle Generator は好きなだけ行を表示します。