因数分解計算ツール
多項式を入力すると、整数の範囲での完全な因数分解を、各ステップつきで表示します。最大公約数の共通因数に始まり、平方の差、完全平方、立方の和と差、ax² + bx + c のAC法、組み分け、有理根定理の順に進みます。因数は展開し直して確認でき、因数分解できない多項式は「素」と呼ばれます。無料で、登録は不要です。
文字は1つ。例：6x^2 + x − 12、x^3 + 8、2x^3 − 3x^2 − 11x + 6。べきは ^ または上付き文字で書けます。
因数分解された形
(3x − 4)(2x + 3)
因数分解
完全に因数分解されました
状態
途中式
AC法：a × c = 6 × (−12) = −72 を計算します。積が −72、和が b = 1 になる2つの数を探します。それは −8 と 9 です。
その2つの数を使って、中央の項を分けます。
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
項を2つずつ組にし、それぞれの組から共通因数をくくり出します。
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
2つの組に共通のかっこができたので、それをくくり出します。
(3x − 4)(2x + 3)
展開して検算
因数をかけて展開すると 6x² + x − 12 となり、入力した多項式と一致します。
因数分解計算ツールの使い方
- 1. 多項式を入力します。 例：6x^2 + x − 12 や x^3 + 8。文字は1つだけ使います。べきは ^ または上付き文字で書け、かっこは先に展開されます。
- 2. 因数分解された形を読み取ります。 積の形で表示され、同じ因数はべき乗で書かれます。また、多項式が素かどうかも示されます。
- 3. 途中式を追います。 各行に使った方法が書かれ、その前後の多項式が示されます。先生が試す順番と同じ並びです。
- 4. 検算します。 因数を展開し、入力した多項式と比べます。
方法を試す順番
| 見るもの | パターン | 因数分解の形 |
|---|---|---|
| すべての項にある共通因数 | ab + ac | a(b + c)。必ず最初に行います。先頭の項が負なら、マイナス符号も含めます。 |
| 2つの項がどちらも平方数で、引き算になっている | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| 2つの項がどちらも立方数 | A³ + B³ または A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) または (A − B)(A² + AB + B²) |
| 3つの項で、最初と最後が平方数 | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| 3つの項で ax² + bx + c の形 | 積が ac、和が b になる2つの数 | 下のAC法 |
| 4つの項 | 組のそれぞれが同じかっこを持つ | 組み分けで因数分解 |
| その他 | 有理根 p/q | (qx − p) で割り、繰り返す |
AC法：6x² + x − 12 の場合
- aとcを掛けます。 6 × (−12) = −72。
- 積が −72、和が b = 1 になる2つの数を探します。 −8 と 9 です。
- 中央の項を分けます。 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12。
- 組にして、それぞれを因数分解します。 2x(3x − 4) + 3(3x − 4)。
- 共通のかっこを取り出します。 (3x − 4)(2x + 3)。
aが1のとき、この方法は見慣れた近道になります。x² + 5x + 6 では、積が6、和が5になる2つの数、つまり2と3を探し、(x + 2)(x + 3) と書きます。そのような整数の組がない場合は、判別式 b² − 4ac が完全平方数ではなく、その二次式は整数の範囲で素になります。
その他の具体例
| 多項式 | 方法 | 因数分解された形 |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | 最大公約数 3x をくくり出し、平方の差 (2x)² − 3² を使う | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | 立方の差 (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | 組み分け：x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | 有理根 x = 1/2 を求め、その後に二次式を分解 | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | 2つの二次式（ソフィー・ジェルマンの恒等式） | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
ここでの「素」の意味
多項式が整数係数の低次の多項式の積として書けないとき、その多項式は整数の範囲で素（既約）であるといいます。x² + 4 と x² + x + 1 は素です。素かどうかは数の体系によって決まります。x² − 2 は整数の範囲では素ですが、実数の範囲では (x − √2)(x + √2) と因数分解でき、x² + 4 は複素数の範囲では (x − 2i)(x + 2i) と因数分解できます。このツールは有理数の範囲で因数分解するため、整数係数の多項式については整数の範囲と同じ結果になります。
制限
二次式と三次式は必ず完全に因数分解されます。4次以上では、パターン、組み分け、有理根、二次式の組の探索を使います。どれでも分解できなかった因数は、素と判定せず、注記つきで残りの因数として示されます。
よくある間違い
- 最大公約数を忘れる。 2x² + 10x + 12 は 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3) とすると簡単です。最初に共通因数を取り出しましょう。
- AC法での符号の誤り。 cが負なら2つの数の符号は異なり、cが正なら符号はbの符号と同じになります。
- 平方の和を因数分解しようとする。 x² + 9 は整数の範囲では素です。因数分解できるのは平方の差だけです。
- 立方の公式を混同する。 2つ目のかっこの中央の符号は、常に最初のかっこの符号と逆になります：A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) と A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)。
- 途中で止めてしまう。 x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) では、まだ終わっていません。x² − 4 はさらに因数分解できます。
よくある質問
- 三項式 ax² + bx + c はどのように因数分解しますか？
- AC法を使います。aとcを掛け、積がacで和がbになる2つの数を見つけ、その数で中央の項を分け、それぞれの組を因数分解して、共通のかっこを取り出します。aが1のときは、積がc、和がbになる2つの数を求めるだけで十分です。
- 平方の差の公式は何ですか？
- A² − B² = (A − B)(A + B) です。二項式が、平方数から平方数を引いた形のときに使います。たとえば 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5) です。x² + 25 のような平方の和は、整数の範囲では因数分解できません。
- 立方の和と差の公式は何ですか？
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) と A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²) です。27x³ − 1 では A = 3x、B = 1 なので、(3x − 1)(9x² + 3x + 1) と因数分解できます。
- 多項式が素かどうかはどうやって判断しますか？
- 二次式なら判別式 b² − 4ac を確認します。平方数でなければ有理根はなく、整数の範囲で素です。三次式は有理根がないとき素です。より高い次数には、簡単な判定法はありません。
- 組み分けによる因数分解とは何ですか？
- 4つの項を2つの組に分け、それぞれから最大公約数を取り出します。かっこが一致すれば、そのかっこをくくり出します。x³ + 2x² + 3x + 6 は x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3) になります。
- 共通因数が負になることがあるのはなぜですか？
- 最高次の係数が負のとき、このツールは負の共通因数を取り出すため、かっこ内の多項式は正の係数から始まります。たとえば −2x² + 8 は −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2) になります。どちらの書き方も正しいので、授業の方針を確認してください。
- 因数分解の結果を自分で確認できますか？
- はい。因数をかけて展開し直してください。元の多項式になれば、因数分解は正しいです。このツールも最後の検算で同じことを行っています。