Как разложить трёхчлен ax² + bx + c?

Используйте метод AC. Перемножьте a и c, найдите два числа, произведение которых равно ac, а сумма равна b, разбейте средний член с их помощью, разложите каждую пару и вынесите общую скобку. Если a = 1, нужны только два числа с произведением c и суммой b.

Какая формула разности квадратов?

A² − B² = (A − B)(A + B). Она применяется, когда двучлен — это разность полных квадратов, например 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Сумма квадратов вроде x² + 25 над целыми числами не раскладывается.

Какие формулы суммы и разности кубов?

A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) и A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Для 27x³ − 1 имеем A = 3x и B = 1, поэтому многочлен раскладывается как (3x − 1)(9x² + 3x + 1).

Как понять, что многочлен простой?

Для квадратного трёхчлена проверьте дискриминант b² − 4ac: если он не является полным квадратом, рациональных корней нет и трёхчлен прост над целыми числами. Кубический многочлен прост, если у него нет рационального корня. Для больших степеней простого правила не существует.

Что такое разложение группировкой?

Для четырёх членов разбейте их на две пары, вынесите наибольший общий делитель из каждой и, если скобки совпали, вынесите скобку. x³ + 2x² + 3x + 6 превращается в x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).

Почему иногда общий множитель отрицательный?

Когда старший коэффициент отрицателен, калькулятор выносит отрицательный общий множитель, так что многочлен в скобке начинается с положительного члена. −2x² + 8 превращается в −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Оба варианта верны; проверьте, какой ожидает ваш курс.

Могу ли я проверить разложение сам?

Да, перемножьте множители обратно. Если получится исходный многочлен, разложение верное. Калькулятор делает это за вас в итоговой проверке.

Калькулятор разложения на множители

Введите многочлен и получите его полное разложение над целыми числами с каждым шагом: наибольший общий делитель, затем разность квадратов, полные квадраты, суммы и разности кубов, метод AC для ax² + bx + c, группировка или теорема о рациональных корнях. Множители перемножаются обратно как проверка, а многочлен, который нельзя разложить, называется простым. Бесплатно, без регистрации.

Многочлен для разложения

Одна буква, например 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 или 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. Степени пишутся через ^ или надстрочными знаками.

Попробовать пример

Разложенный вид

(3x − 4)(2x + 3)

Разложение

Разложен полностью

Статус

Пошагово

Метод AC: перемножьте a × c = 6 × (−12) = −72. Найдите два числа, произведение которых −72, а сумма b = 1: это −8 и 9.
Разбейте средний член с помощью этих двух чисел.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Сгруппируйте члены попарно и вынесите общий множитель из каждой пары.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
Теперь обе пары имеют общую скобку; вынесите её.
(3x − 4)(2x + 3)

Проверка раскрытием скобок

Перемножение множителей даёт 6x² + x − 12 — тот многочлен, который вы ввели.

Как пользоваться калькулятором разложения на множители

1. Введите многочлен. Например, 6x^2 + x − 12 или x^3 + 8. Используйте одну букву; степени можно записывать через ^ или надстрочными знаками, а скобки раскрываются в первую очередь.
2. Прочитайте разложение. Оно появляется в виде произведения, повторяющиеся множители записываются степенями, а калькулятор сообщает, является ли многочлен простым.
3. Следите за шагами. Каждая строка называет использованный метод и показывает многочлен до и после преобразования — в том порядке, в каком перебрал бы методы преподаватель.
4. Проверьте. Множители раскрываются и сравниваются с тем, что вы ввели.

В каком порядке перебирать методы

Что искать	Шаблон	Раскладывается как
Общий множитель во всех членах	ab + ac	a(b + c) — всегда первым, включая знак минус, если первый член отрицательный
Два члена, оба — полные квадраты, соединённые минусом	A² − B²	(A − B)(A + B)
Два члена, оба — полные кубы	A³ + B³ или A³ − B³	(A + B)(A² − AB + B²) или (A − B)(A² + AB + B²)
Три члена, первый и последний — полные квадраты	A² ± 2AB + B²	(A ± B)²
Три члена, ax² + bx + c	Два числа с произведением ac и суммой b	Метод AC, ниже
Четыре члена	Пары имеют общую скобку	Разложение группировкой
Всё остальное	Рациональный корень p/q	Отделите (qx − p) делением и повторите

Метод AC: 6x² + x − 12

Перемножьте a и c. 6 × (−12) = −72.
Найдите два числа, произведение которых −72, а сумма равна b = 1: это −8 и 9.
Разбейте средний член. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
Сгруппируйте и разложите каждую пару. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
Вынесите общую скобку. (3x − 4)(2x + 3).

Когда a = 1, метод сводится к знакомому приёму: для x² + 5x + 6 найдите два числа с произведением 6 и суммой 5 — это 2 и 3 — и запишите (x + 2)(x + 3). Если таких целых чисел нет, дискриминант b² − 4ac не является полным квадратом, и квадратный трёхчлен прост над целыми числами.

Другие разобранные примеры

Многочлен	Метод	Разложенный вид
12x³ − 27x	НОД 3x, затем разность квадратов (2x)² − 3²	3x(2x − 3)(2x + 3)
27x³ − 1	Разность кубов (3x)³ − 1³	(3x − 1)(9x² + 3x + 1)
x³ + 2x² + 3x + 6	Группировка: x²(x + 2) + 3(x + 2)	(x + 2)(x² + 3)
2x³ − 3x² − 11x + 6	Рациональный корень x = 1/2, затем квадратный трёхчлен	(x − 3)(2x − 1)(x + 2)
x⁴ + 4	Два квадратных трёхчлена (тождество Софи Жермен)	(x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2)

Что здесь значит «простой»

Многочлен простой (или неприводимый) над целыми числами, если его нельзя записать как произведение многочленов меньшей степени с целыми коэффициентами. x² + 4 и x² + x + 1 — простые. Простота зависит от числовой системы: x² − 2 прост над целыми числами, но раскладывается как (x − √2)(x + √2) над действительными числами, а x² + 4 раскладывается как (x − 2i)(x + 2i) над комплексными числами. Этот калькулятор раскладывает над рациональными числами, что для многочленов с целыми коэффициентами даёт тот же результат, что и над целыми числами.

Ограничения

Квадратные трёхчлены и кубические многочлены всегда раскладываются полностью. Для степени 4 и выше калькулятор использует шаблоны, группировку, рациональные корни и поиск двух квадратных множителей. Множитель, который ни один из этих способов не разбивает, выводится как остаток с примечанием, а не объявляется простым.

Типичные ошибки

Пропуск НОД. 2x² + 10x + 12 проще записать как 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). Всегда сначала выносите общий множитель.
Ошибки знаков в шаге AC. Если c отрицательно, два числа имеют разные знаки; если c положительно, знаки у них одинаковые — такие же, как у b.
Попытка разложить сумму квадратов. x² + 9 прост над целыми числами; раскладывается только разность квадратов.
Путаница с формулами кубов. Средний знак второй скобки всегда противоположен знаку первой: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) и A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
Остановка слишком рано. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) ещё не окончено: x² − 4 раскладывается дальше.

Часто задаваемые вопросы

Как разложить трёхчлен ax² + bx + c?: Используйте метод AC. Перемножьте a и c, найдите два числа, произведение которых равно ac, а сумма равна b, разбейте средний член с их помощью, разложите каждую пару и вынесите общую скобку. Если a = 1, нужны только два числа с произведением c и суммой b.
Какая формула разности квадратов?: A² − B² = (A − B)(A + B). Она применяется, когда двучлен — это разность полных квадратов, например 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Сумма квадратов вроде x² + 25 над целыми числами не раскладывается.
Какие формулы суммы и разности кубов?: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) и A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Для 27x³ − 1 имеем A = 3x и B = 1, поэтому многочлен раскладывается как (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
Как понять, что многочлен простой?: Для квадратного трёхчлена проверьте дискриминант b² − 4ac: если он не является полным квадратом, рациональных корней нет и трёхчлен прост над целыми числами. Кубический многочлен прост, если у него нет рационального корня. Для больших степеней простого правила не существует.
Что такое разложение группировкой?: Для четырёх членов разбейте их на две пары, вынесите наибольший общий делитель из каждой и, если скобки совпали, вынесите скобку. x³ + 2x² + 3x + 6 превращается в x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
Почему иногда общий множитель отрицательный?: Когда старший коэффициент отрицателен, калькулятор выносит отрицательный общий множитель, так что многочлен в скобке начинается с положительного члена. −2x² + 8 превращается в −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Оба варианта верны; проверьте, какой ожидает ваш курс.
Могу ли я проверить разложение сам?: Да, перемножьте множители обратно. Если получится исходный многочлен, разложение верное. Калькулятор делает это за вас в итоговой проверке.