Calculadora de fatoração
Digite um polinômio e obtenha a fatoração completa sobre os inteiros, com cada passo escrito: o máximo divisor comum, depois diferença de quadrados, quadrados perfeitos, somas e diferenças de cubos, o método AC para ax² + bx + c, agrupamento ou o teorema da raiz racional. Os fatores são multiplicados de volta como verificação, e um polinômio que não pode ser fatorado é chamado de irredutível. Grátis, sem cadastro.
Uma letra, por exemplo 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 ou 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. As potências usam ^ ou expoentes sobrescritos.
Forma fatorada
(3x − 4)(2x + 3)
Fatoração
Totalmente fatorado
Situação
Passo a passo
Método AC: multiplique a × c = 6 × (−12) = −72. Encontre dois números cujo produto seja −72 e cuja soma seja b = 1: eles são −8 e 9.
Divida o termo do meio usando esses dois números.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Agrupe os termos em pares e coloque em evidência o fator comum de cada par.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
Os dois pares agora compartilham um parêntese; coloque-o em evidência.
(3x − 4)(2x + 3)
Verificação por expansão
Multiplicar os fatores de volta resulta em 6x² + x − 12, o polinômio que você digitou.
Como usar a calculadora de fatoração
- 1. Digite o polinômio. Por exemplo 6x^2 + x − 12 ou x^3 + 8. Use uma letra; as potências podem ser escritas com ^ ou como expoentes sobrescritos, e os parênteses são expandidos primeiro.
- 2. Leia a forma fatorada. Ela aparece como um produto, com fatores repetidos escritos como potências, e a calculadora informa se o polinômio é irredutível.
- 3. Siga os passos. Cada linha diz qual método foi usado e mostra o polinômio antes e depois, na ordem em que um professor tentaria os métodos.
- 4. Verifique. Os fatores são expandidos e comparados com o que você digitou.
A ordem em que tentar os métodos
| Procure | Padrão | Fatora-se como |
|---|---|---|
| Um fator comum em todos os termos | ab + ac | a(b + c) — sempre primeiro, incluindo um sinal de menos se o termo líder for negativo |
| Dois termos, ambos quadrados perfeitos, subtraídos | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| Dois termos, ambos cubos perfeitos | A³ + B³ ou A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) ou (A − B)(A² + AB + B²) |
| Três termos, primeiro e último quadrados perfeitos | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| Três termos, ax² + bx + c | Dois números com produto ac e soma b | O método AC, abaixo |
| Quatro termos | Pares que compartilham um parêntese | Fatorar por agrupamento |
| Qualquer outro caso | Uma raiz racional p/q | Dividir por (qx − p) e repetir |
O método AC: 6x² + x − 12
- Multiplique a e c. 6 × (−12) = −72.
- Encontre dois números cujo produto seja −72 e cuja soma seja b = 1: são −8 e 9.
- Divida o termo do meio. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- Agrupe e fatore cada par. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- Coloque em evidência o parêntese comum. (3x − 4)(2x + 3).
Quando a = 1, o método se reduz ao atalho conhecido: para x² + 5x + 6, encontre dois números com produto 6 e soma 5 — 2 e 3 — e escreva (x + 2)(x + 3). Se não existe nenhum par inteiro assim, o discriminante b² − 4ac não é um quadrado perfeito e a quadrática é irredutível sobre os inteiros.
Outros exemplos práticos
| Polinômio | Método | Forma fatorada |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | MDC 3x, depois diferença de quadrados (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | Diferença de cubos (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | Agrupamento: x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | Raiz racional x = 1/2, depois a quadrática | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | Duas quadráticas (identidade de Sophie Germain) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
O que “irredutível” significa aqui
Um polinômio é irredutível (ou primo) sobre os inteiros quando não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor com coeficientes inteiros. x² + 4 e x² + x + 1 são irredutíveis. Irredutibilidade depende do sistema numérico: x² − 2 é irredutível sobre os inteiros, mas se fatora como (x − √2)(x + √2) sobre os reais, e x² + 4 se fatora como (x − 2i)(x + 2i) sobre os complexos. Esta calculadora fatora sobre os racionais, o que, para polinômios com coeficientes inteiros, dá o mesmo resultado que fatorar sobre os inteiros.
Limites
Quadráticas e cúbicas são sempre fatoradas por completo. Para grau 4 ou maior, a calculadora usa padrões, agrupamento, raízes racionais e uma busca por duas quadráticas como fatores. Um fator que nenhum desses métodos divide é informado como restante, com uma nota, em vez de ser chamado de irredutível.
Erros comuns
- Pular o fator comum. 2x² + 10x + 12 é mais fácil como 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). Sempre tire primeiro o fator comum.
- Erros de sinal no passo AC. Se c é negativo, os dois números têm sinais opostos; se c é positivo, têm o mesmo sinal — o sinal de b.
- Tentar fatorar uma soma de quadrados. x² + 9 é irredutível sobre os inteiros; só uma diferença de quadrados se fatora.
- Confundir as fórmulas de cubos. O sinal central do segundo parêntese é sempre o oposto do sinal do primeiro: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) e A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²).
- Parar cedo. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) não está terminado: x² − 4 se fatora de novo.
Perguntas frequentes
- Como fatorar um trinômio ax² + bx + c?
- Use o método AC. Multiplique a e c, encontre dois números cujo produto seja ac e cuja soma seja b, divida o termo do meio com eles, fatore cada par e coloque em evidência o parêntese comum. Quando a = 1, basta encontrar dois números com produto c e soma b.
- Qual é a fórmula da diferença de quadrados?
- A² − B² = (A − B)(A + B). Ela se aplica quando um binômio é um quadrado perfeito menos outro quadrado perfeito, como 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Uma soma de quadrados, como x² + 25, não se fatora sobre os inteiros.
- Quais são as fórmulas da soma e da diferença de cubos?
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) e A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Para 27x³ − 1, A = 3x e B = 1, então ele se fatora como (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
- Como saber se um polinômio é irredutível?
- Para uma quadrática, verifique o discriminante b² − 4ac: se ele não for um quadrado perfeito, não há raízes racionais e a quadrática é irredutível sobre os inteiros. Um cúbico é irredutível quando não tem raiz racional. Para graus maiores, não existe um teste simples.
- O que é fatorar por agrupamento?
- Para quatro termos, separe-os em dois pares, coloque em evidência o maior fator comum de cada um e, se os parênteses coincidirem, coloque o parêntese em evidência. x³ + 2x² + 3x + 6 vira x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
- Por que o fator comum às vezes é negativo?
- Quando o coeficiente líder é negativo, a calculadora coloca em evidência um fator comum negativo, de modo que o polinômio dentro do parêntese começa positivo. −2x² + 8 vira −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). As duas convenções estão corretas; verifique qual o seu curso espera.
- Posso verificar uma fatoração eu mesmo?
- Sim, multiplique os fatores de volta. Se você obtiver o polinômio original, a fatoração está certa. A calculadora faz isso para você na verificação final.