Calculadora de números complexos

Resultados

O cálculo

1. Para dividir, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do divisor. Assim o denominador se torna um número real.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. O denominador se torna c² + d², que é real.

   1² + (−2)² = 5

3. Desenvolva o numerador.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. Divida as partes real e imaginária pelo denominador.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

Plano complexo

Como usar a calculadora de números complexos

1. 1. Escolha o que você precisa. A aritmética trabalha com dois números, z₁ e z₂. A forma polar trabalha com z₁. Potências e raízes usam z₁ e um número inteiro n de 2 a 24.
2. 2. Digite os números. Escreva 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i ou até (1 + i)(2 − i). Use i, ou j se você está acostumado com a notação da engenharia. Frações e decimais são lidos com exatidão.
3. 3. Leia o resultado. Somas, produtos, quocientes e potências inteiras são frações exatas. Módulos, argumentos e raízes são mostrados de forma exata quando possível, e como aproximações de quatro casas decimais no restante.
4. 4. Acompanhe o cálculo e o diagrama. Cada passo é escrito por extenso, e os números são desenhados como setas no plano complexo.

Aritmética na forma retangular

A multiplicação é a expansão comum com um fato a mais, i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. A divisão usa o conjugado, porque (c + di)(c − di) = c² + d² é um número real. Para (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), o denominador vira 1² + (−2)² = 5 e o numerador vira (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, então o quociente é (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.

Módulo, argumento e forma polar

O módulo |z| = √(a² + b²) é a distância até a origem. O argumento θ é o ângulo a partir do eixo real positivo. Esta calculadora dá o valor principal, com −π < θ ≤ π, e ajusta para o quadrante: arctan(b/a) no primeiro e no quarto, mais 180° no segundo, menos 180° no terceiro. Para z = 3 + 4i:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0,9273 rad = 53,1301°
Forma polar:       5(cos 53,1301° + i sin 53,1301°)
Forma exponencial: 5 × e^(i × 0,9273)

Em um eixo ou em uma diagonal, o argumento é um múltiplo simples de π/4, e a calculadora o escreve de forma exata: −1 + i tem módulo √2 e argumento 3π/4. O zero tem módulo 0, mas não tem argumento, então não tem forma polar.

Potências e raízes: o teorema de De Moivre

O teorema de De Moivre diz que (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ): eleve o módulo à potência e multiplique o ângulo por ela. Por exemplo, (1 + i)⁸ tem módulo (√2)⁸ = 16 e ângulo 8 × 45° = 360°, então é igual a 16 exatamente. A calculadora desenvolve a potência de forma exata e mostra ao lado o cálculo de De Moivre como verificação.

Todo número não nulo tem exatamente n raízes n-ésimas distintas. Elas têm o mesmo módulo r^(1/n) e ângulos (θ + 360°k)/n para k = 0, 1, …, n − 1, então ficam nos vértices de um polígono regular centrado na origem. As raízes cúbicas de −8, que tem módulo 8 e argumento π, têm módulo 2 e ângulos π/3, π e 5π/3: 1 + 1,7321i, −2 e 1 − 1,7321i. As raízes quadradas de 3 + 4i são exatamente 2 + i e −2 − i.

Potências de i

Para encontrar iⁿ, divida n por 4 e use o resto: i⁵⁷ = i¹ = i porque 57 = 4 × 14 + 1.

Erros comuns

• Esquecer i² = −1 ao multiplicar: o termo bd muda de sinal, então é (ac − bd), não (ac + bd).
• Dividir sem o conjugado. Multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador é o que tira i do denominador.
• Usar arctan(b/a) em todos os quadrantes. O arctan de uma calculadora só devolve valores de −90° a 90°, então números no segundo e no terceiro quadrante precisam de ±180°.
• Dar apenas uma raiz. z^(1/n) tem n valores; a raiz principal é apenas k = 0.
• Misturar graus e radianos dentro de cos e sin. 53,13° e 0,9273 rad são o mesmo ângulo.

Perguntas frequentes

Como se divide números complexos?

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O novo denominador é c² + d², um número real, e você divide as partes real e imaginária do novo numerador por ele. Para (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), a resposta é −1 + 2i.

O que são o módulo e o argumento de um número complexo?

O módulo é o comprimento √(a² + b²), a distância até a origem no plano complexo. O argumento é o ângulo a partir do eixo real positivo até o número, entre −180° e 180° para o valor principal. Juntos eles dão a forma polar r(cos θ + i sin θ).

O que é a forma exponencial de um número complexo?

Pela fórmula de Euler, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, então z = r(cos θ + i sin θ) pode ser escrito como re^(iθ), com θ em radianos. Para 3 + 4i, isso dá 5e^(0,9273i). Ela facilita a multiplicação: multiplique os módulos e some os ângulos.

O que é o teorema de De Moivre?

Ele afirma que (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, e portanto zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Ele transforma potências em uma mudança de módulo e ângulo e, com um expoente fracionário, dá as raízes n-ésimas.

Quantas raízes n-ésimas um número complexo tem?

Exatamente n, se o número não for zero. Elas têm o mesmo módulo e ângulos separados por 360°/n, então formam um polígono regular de n lados. Um número real como −8 tem três raízes cúbicas: uma real e duas complexas.

O que é o conjugado de um número complexo?

O conjugado de a + bi é a − bi. Multiplicar um número pelo seu conjugado dá o número real a² + b², o quadrado do módulo. Conjugados são usados na divisão e para emparelhar as raízes complexas de polinômios reais.

Por que o argumento de 0 é indefinido?

O zero é a origem, que está em todas as direções ao mesmo tempo, então nenhum ângulo único o descreve. Seu módulo é 0, e a calculadora avisa quando uma forma polar ou uma raiz não está disponível.