Calculateur de nombres complexes

Résultat

Le détail des calculs

1. Pour diviser, multipliez le haut et le bas par le conjugué du diviseur. Le dénominateur devient alors un nombre réel.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. Le dénominateur devient c² + d², qui est réel.

   1² + (−2)² = 5

3. Développez le haut.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. Divisez les parties réelle et imaginaire par le dénominateur.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

Plan complexe

Comment utiliser le calculateur de nombres complexes

1. 1. Choisissez ce dont vous avez besoin. L'arithmétique porte sur deux nombres, z₁ et z₂. La forme polaire porte sur z₁. Les puissances et racines prennent z₁ et un entier n de 2 à 24.
2. 2. Saisissez les nombres. Écrivez 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i ou même (1 + i)(2 − i). Utilisez i, ou j si vous êtes habitué à la notation de l'ingénierie. Les fractions et les décimales sont lues exactement.
3. 3. Lisez le résultat. Les sommes, produits, quotients et puissances entières sont des fractions exactes. Les modules, arguments et racines sont donnés sous forme exacte lorsque c'est possible, et sous forme d'approximations à quatre décimales sinon.
4. 4. Suivez le détail des calculs et le diagramme. Chaque étape est écrite, et les nombres sont tracés sous forme de flèches dans le plan complexe.

Arithmétique sous forme algébrique

La multiplication est un développement ordinaire avec un fait supplémentaire, i² = −1 : (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. La division utilise le conjugué, car (c + di)(c − di) = c² + d² est un nombre réel. Pour (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), le bas devient 1² + (−2)² = 5 et le haut devient (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, donc le quotient vaut (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.

Module, argument et forme polaire

Le module |z| = √(a² + b²) est la distance à l'origine. L'argument θ est l'angle depuis l'axe réel positif. Ce calculateur donne la valeur principale, avec −π < θ ≤ π, et s'ajuste selon le quadrant : arctan(b/a) dans le premier et le quatrième, plus 180° dans le deuxième, moins 180° dans le troisième. Pour z = 3 + 4i :

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0,9273 rad = 53,1301°
Forme polaire :         5(cos 53,1301° + i sin 53,1301°)
Forme exponentielle :   5 × e^(i × 0,9273)

Sur un axe ou une diagonale, l'argument est un multiple simple de π/4, et le calculateur l'écrit exactement : −1 + i a pour module √2 et pour argument 3π/4. Zéro a pour module 0 mais n'a pas d'argument, donc pas de forme polaire.

Puissances et racines : théorème de De Moivre

Le théorème de De Moivre dit que (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) : on élève le module à la puissance et on multiplie l'angle. Par exemple, (1 + i)⁸ a pour module (√2)⁸ = 16 et pour angle 8 × 45° = 360°, donc il vaut exactement 16. Le calculateur développe exactement la puissance et affiche à côté le calcul de De Moivre comme vérification.

Chaque nombre non nul possède exactement n racines n-ièmes distinctes. Elles ont le même module r^(1/n) et des angles (θ + 360°k)/n pour k = 0, 1, …, n − 1 ; elles se placent donc aux sommets d'un polygone régulier centré sur l'origine. Les racines cubiques de −8, qui a pour module 8 et pour argument π, ont pour module 2 et pour angles π/3, π et 5π/3 : 1 + 1,7321i, −2 et 1 − 1,7321i. Les racines carrées de 3 + 4i sont exactement 2 + i et −2 − i.

Puissances de i

Pour trouver iⁿ, divisez n par 4 et utilisez le reste : i⁵⁷ = i¹ = i car 57 = 4 × 14 + 1.

Erreurs courantes

• Oublier i² = −1 lors d'une multiplication : le terme bd change de signe, donc (ac − bd), et non (ac + bd).
• Diviser sans le conjugué. Multiplier le haut et le bas par le conjugué du dénominateur est ce qui fait disparaître i du dénominateur.
• Prendre arctan(b/a) dans tous les quadrants. L'arctan d'une calculatrice ne renvoie que des valeurs de −90° à 90°, donc les nombres des deuxième et troisième quadrants ont besoin de ±180°.
• Ne donner qu'une seule racine. z^(1/n) a n valeurs ; la racine principale ne correspond qu'à k = 0.
• Mélanger degrés et radians dans cos et sin. 53,13° et 0,9273 rad sont le même angle.

Questions fréquentes

Comment divise-t-on des nombres complexes ?

Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le nouveau dénominateur est c² + d², un nombre réel, et vous divisez les parties réelle et imaginaire du nouveau numérateur par lui. Pour (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), la réponse est −1 + 2i.

Quels sont le module et l'argument d'un nombre complexe ?

Le module est la longueur √(a² + b²), c'est-à-dire la distance à l'origine dans le plan complexe. L'argument est l'angle depuis l'axe réel positif jusqu'au nombre, compris entre −180° et 180° pour la valeur principale. Ensemble, ils donnent la forme polaire r(cos θ + i sin θ).

Qu'est-ce que la forme exponentielle d'un nombre complexe ?

D'après la formule d'Euler, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, donc z = r(cos θ + i sin θ) peut s'écrire re^(iθ), avec θ en radians. Pour 3 + 4i, cela donne 5e^(0,9273i). Elle rend la multiplication facile : on multiplie les modules et on additionne les angles.

Qu'est-ce que le théorème de De Moivre ?

Il affirme que (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, et donc que zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Il transforme les puissances en une modification du module et de l'angle, et avec un exposant fractionnaire il donne les racines n-ièmes.

Combien un nombre complexe a-t-il de racines n-ièmes ?

Exactement n, si le nombre n'est pas nul. Elles ont le même module et des angles espacés de 360°/n, si bien qu'elles forment un polygone régulier à n côtés. Un nombre réel comme −8 a trois racines cubiques : une réelle et deux complexes.

Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe ?

Le conjugué de a + bi est a − bi. Multiplier un nombre par son conjugué donne le nombre réel a² + b², le carré du module. Les conjugués servent à la division et à associer les racines complexes des polynômes réels.

Pourquoi l'argument de 0 n'est-il pas défini ?

Zéro est l'origine, qui se trouve dans toutes les directions à la fois : aucun angle unique ne la décrit. Son module est 0, et le calculateur indique quand une forme polaire ou une racine n'est pas disponible.