Calculateur de distance et de milieu
Saisissez deux points dans le plan ou dans l'espace : vous obtenez la distance entre eux sous forme radicale simplifiée (avec une valeur décimale à côté), leur milieu, et le point qui divise le segment dans un rapport m : n quelconque. Changez de mode pour trouver l'autre extrémité lorsque vous connaissez une extrémité et le milieu. Le calcul est détaillé et, en 2D, le segment est tracé à l'échelle. Gratuit, sans inscription.
Nombres entiers, décimaux ou fractions comme 3/4.
Résultats
2√13 ≈ 7,211103
Distance
(1, 1)
Milieu
52
Distance au carré
Le calcul
d = √(somme des carrés des écarts sur x, y)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2 ; (y₁ + y₂) / 2 ; …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
Formule de section
(0, 5/3)
Point divisant P₁P₂ de façon interne 1 : 2
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
Schéma
Comment utiliser le calculateur de distance et de milieu
- 1. Choisissez la 2D ou la 3D et un mode. Le premier mode mesure la distance entre deux points ; le second trouve une extrémité à partir d'un point et du milieu.
- 2. Saisissez les coordonnées. Les nombres entiers, décimaux et fractions comme 1/2 sont conservés exactement : une distance de √13 ne devient jamais 3,6055.
- 3. Lisez la distance et le milieu. La distance est donnée sous forme radicale simplifiée, avec une valeur décimale approchée ; le milieu est affiché sous forme de fraction ou de point décimal.
- 4. Essayez la formule de section. Réglez m et n, puis choisissez une division interne ou externe pour trouver le point qui partage le segment dans ce rapport. En 2D, le segment, le milieu et le point de section sont tracés.
Les formules
| Grandeur | 2D | 3D |
|---|---|---|
| Distance | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Milieu | ((x₁ + x₂)/2 ; (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2 ; (y₁ + y₂)/2 ; (z₁ + z₂)/2) |
| Point divisant P₁P₂ de façon interne m : n | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | la même, appliquée à chaque coordonnée |
| Point divisant P₁P₂ de façon externe m : n | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | la même, appliquée à chaque coordonnée |
| Autre extrémité, connaissant P₁ et le milieu M | P₂ = 2M − P₁ | la même, appliquée à chaque coordonnée |
La formule de la distance est le théorème de Pythagore appliqué aux écarts horizontal et vertical entre les points : ce sont les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment. En 3D, la même idée s'applique deux fois. Le milieu est simplement la moyenne de chaque coordonnée, et c'est le point de section pour le rapport 1 : 1.
Exemples détaillés
- Distance et milieu en 2D. Pour P₁ = (−2 ; 3) et P₂ = (4 ; −1), les écarts sont 6 et −4, donc d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. Le milieu est ((−2 + 4)/2 ; (3 − 1)/2) = (1 ; 1).
- Formule de section. Le point qui divise le même segment de façon interne dans le rapport 1 : 2 est ((2 × (−2) + 1 × 4)/3 ; (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0 ; 5/3). Il se trouve au tiers du chemin de P₁ à P₂.
- Division externe. Pour P₁ = (0 ; 0) et P₂ = (4 ; 0), le rapport 3 : 1 de façon externe donne ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1) ; 0) = (6 ; 0), un point au-delà de P₂.
- Distance en 3D. De (1 ; 2 ; 3) à (4 ; −2 ; 15), les écarts sont 3, −4 et 12, donc d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, et le milieu est (5/2 ; 0 ; 9).
- Extrémité manquante. Si une extrémité est (1 ; 2) et que le milieu est (5/2 ; 4), l'autre extrémité est (2 × 5/2 − 1 ; 2 × 4 − 2) = (4 ; 6).
Division interne et externe
Dire qu'un point divise P₁P₂ dans le rapport m : n signifie que ses distances à P₁ et à P₂ sont dans le rapport m à n. Pour une division interne, le point se trouve entre les deux, avec m/(m + n) de la longueur du côté de P₁. Pour une division externe, il se trouve sur la droite mais en dehors du segment : au-delà de P₂ lorsque m > n, au-delà de P₁ lorsque m < n. Un rapport 1 : 1 n'a pas de point externe, car la formule diviserait par zéro. Les points de section servent à partager un segment en parties égales, à trouver un centre de gravité et à interpoler des coordonnées entre deux points connus.
Questions fréquentes
- Qu'est-ce que la formule de la distance ?
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) dans le plan, avec un terme (z₂ − z₁)² ajouté dans l'espace. Elle vient du théorème de Pythagore : les écarts horizontal et vertical sont les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et la distance en est l'hypoténuse.
- Comment trouver le milieu d'un segment ?
- Calculez la moyenne des coordonnées : additionnez les deux abscisses et divisez par deux, additionnez les deux ordonnées et divisez par deux (de même pour z). Le milieu de (−2 ; 3) et (4 ; −1) est (1 ; 1).
- Comment trouver une extrémité lorsqu'on connaît l'autre extrémité et le milieu ?
- Doublez le milieu et soustrayez l'extrémité connue, coordonnée par coordonnée : P₂ = 2M − P₁. Le milieu est exactement à mi-chemin, donc l'extrémité inconnue est aussi éloignée au-delà de M que l'extrémité connue en est en deçà.
- Qu'est-ce que la formule de section ?
- Elle donne le point qui divise un segment dans un rapport donné. Pour une division interne dans le rapport m : n, le point est (n·P₁ + m·P₂)/(m + n) ; pour une division externe, il est (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). Le milieu est le cas particulier m = n.
- L'ordre des points change-t-il la distance ?
- Non. Échanger les points change le signe de chaque écart, et les écarts sont élevés au carré, donc la distance reste la même. L'ordre compte en revanche pour la formule de section, car le rapport m : n se mesure de P₁ vers P₂.
- Pourquoi la distance reste-t-elle une racine carrée ?
- Une racine carrée comme √52 est la distance exacte ; une valeur décimale est un arrondi. Le calculateur la simplifie (√52 = 2√13) et donne aussi la valeur décimale, pour que vous puissiez utiliser la valeur exacte dans une démonstration et la valeur décimale dans une mesure.