거리 및 중점 계산기
두 점을 평면이나 공간에 입력하면 두 점 사이의 거리를 가장 간단한 근호 꼴(옆에 소수값 포함)로, 중점과 선분을 m : n 비율로 나누는 점을 구해 드립니다. 한 끝점과 중점을 알고 있을 때 다른 끝점을 구하는 모드로 바꿀 수도 있습니다. 풀이 과정이 함께 적히며, 2차원에서는 선분을 축척에 맞게 그립니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.
정수, 소수 또는 3/4 같은 분수를 입력하세요.
결과
2√13 ≈ 7.211103
거리
(1, 1)
중점
52
거리의 제곱
풀이 과정
d = √(x, y에서 차이의 제곱합)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
분점 공식
(0, 5/3)
P₁P₂를 내분하는 점 1 : 2
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
도식
거리 및 중점 계산기 사용 방법
- 1. 2D 또는 3D를 고르고 모드를 선택하세요. 첫 번째 모드는 두 점 사이를 측정하고, 두 번째 모드는 한 점과 중점에서 끝점을 구합니다.
- 2. 좌표를 입력하세요. 정수, 소수, 그리고 1/2 같은 분수는 정확한 값으로 유지되므로 √13이 3.6055로 바뀌지 않습니다.
- 3. 거리와 중점을 읽으세요. 거리는 가장 간단한 근호 꼴과 소수 근사값으로 표시되고, 중점은 분수 또는 소수 좌표로 표시됩니다.
- 4. 분점 공식을 사용해 보세요. m과 n을 정하고 내분 또는 외분을 고르면 선분을 그 비율로 나누는 점이 나옵니다. 2차원에서는 선분, 중점, 분점이 그래프에 표시됩니다.
공식
| 구분 | 2차원 | 3차원 |
|---|---|---|
| 거리 | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| 중점 | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| P₁P₂를 m : n으로 내분하는 점 | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | 각 좌표에 같은 식을 적용 |
| P₁P₂를 m : n으로 외분하는 점 | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | 각 좌표에 같은 식을 적용 |
| P₁과 중점 M이 주어졌을 때 다른 끝점 | P₂ = 2M − P₁ | 각 좌표에 같은 식을 적용 |
거리 공식은 두 점의 가로 차이와 세로 차이를 직각삼각형의 두 변으로 보고, 두 점을 잇는 선분을 빗변으로 삼는 피타고라스 정리를 적용한 것입니다. 공간에서는 같은 원리를 두 번 적용합니다. 중점은 각 좌표의 평균이며, 비율 1 : 1일 때의 분점과 같습니다.
실제 예시
- 2차원에서의 거리와 중점. P₁ = (−2, 3), P₂ = (4, −1)이면 차이는 6과 −4이므로 d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.211103입니다. 중점은 ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1)입니다.
- 분점 공식. 같은 선분을 1 : 2로 내분하는 점은 ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3)입니다. P₁에서 P₂까지 거리의 3분의 1만큼 떨어진 점입니다.
- 외분. P₁ = (0, 0), P₂ = (4, 0)에서 3 : 1로 외분하는 점은 ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0)이며, P₂를 넘어선 점입니다.
- 3차원에서의 거리. (1, 2, 3)에서 (4, −2, 15)까지의 차이는 3, −4, 12이므로 d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13이고, 중점은 (5/2, 0, 9)입니다.
- 빠진 끝점. 한 끝점이 (1, 2)이고 중점이 (5/2, 4)라면 다른 끝점은 (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6)입니다.
내분과 외분
점이 P₁P₂를 m : n으로 나눈다는 것은 그 점에서 P₁과 P₂까지의 거리 비가 m 대 n이라는 뜻입니다. 내분이면 점이 두 점 사이에 있으며, P₁ 쪽으로 전체 길이의 m/(m + n)만큼 떨어져 있습니다. 외분이면 점은 직선 위에 있지만 선분 밖에 있습니다. m > n이면 P₂ 너머에, m < n이면 P₁ 너머에 있습니다. 비율 1 : 1에는 외분점이 없는데, 공식에서 0으로 나누게 되기 때문입니다. 분점은 선분을 같은 부분으로 나눌 때, 삼각형의 무게중심을 구할 때, 그리고 알고 있는 두 점 사이의 좌표를 보간할 때 쓰입니다.
자주 묻는 질문
- 거리 공식은 무엇인가요?
- 평면에서는 d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)이고, 공간에서는 (z₂ − z₁)² 항이 더해집니다. 가로와 세로 차이가 직각삼각형의 두 변이고 거리가 빗변이라는 피타고라스 정리에서 나온 식입니다.
- 선분의 중점은 어떻게 구하나요?
- 좌표를 평균하면 됩니다. x값 두 개를 더해 2로 나누고, y값 두 개를 더해 2로 나눕니다(z도 같은 방법). (−2, 3)과 (4, −1)의 중점은 (1, 1)입니다.
- 한 끝점과 중점을 알 때 다른 끝점은 어떻게 구하나요?
- 중점을 두 배로 한 뒤 알고 있는 끝점을 빼면 됩니다. 좌표별로 P₂ = 2M − P₁입니다. 중점은 정확히 가운데이므로, 미지의 끝점은 알고 있는 끝점이 M 앞에 있는 만큼 M 뒤에 있습니다.
- 분점 공식은 무엇인가요?
- 선분을 주어진 비율로 나누는 점을 구하는 공식입니다. m : n으로 내분하는 점은 (n·P₁ + m·P₂)/(m + n)이고, 외분하는 점은 (m·P₂ − n·P₁)/(m − n)입니다. 중점은 m = n인 특수한 경우입니다.
- 거리를 구할 때 두 점의 순서가 중요한가요?
- 아니요. 두 점의 순서를 바꾸면 차이의 부호가 모두 바뀌지만 제곱하므로 거리는 같습니다. 분점 공식에서는 순서가 중요한데, m : n이 P₁에서 P₂ 방향으로 재지기 때문입니다.
- 거리를 제곱근 형태로 두는 이유는 무엇인가요?
- √52 같은 제곱근은 정확한 거리이고, 소수는 반올림한 값입니다. 계산기는 이를 간단히 하여(√52 = 2√13) 소수값도 함께 보여 주므로, 증명에는 정확한 값을, 측정에는 소수값을 쓸 수 있습니다.