Wie lautet die Abstandsformel?

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) in der Ebene, im Raum mit einem zusätzlichen Term (z₂ − z₁)². Sie beruht auf dem Satz des Pythagoras: Die waagerechte und die senkrechte Differenz sind die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, und der Abstand ist seine Hypotenuse.

Wie finden Sie den Mittelpunkt einer Strecke?

Bilden Sie den Mittelwert der Koordinaten: Addieren Sie die beiden x-Werte und halbieren Sie die Summe, ebenso die beiden y-Werte (und entsprechend z). Der Mittelpunkt von (−2, 3) und (4, −1) ist (1, 1).

Wie finden Sie einen Endpunkt, wenn Sie den anderen Endpunkt und den Mittelpunkt kennen?

Verdoppeln Sie den Mittelpunkt und subtrahieren Sie den bekannten Endpunkt, Koordinate für Koordinate: P₂ = 2M − P₁. Der Mittelpunkt liegt genau in der Mitte, daher ist der gesuchte Endpunkt ebenso weit jenseits von M, wie der bekannte Endpunkt davor liegt.

Was ist die Teilungsformel?

Sie liefert den Punkt, der eine Strecke in einem vorgegebenen Verhältnis teilt. Bei innerer Teilung im Verhältnis m : n ist der Punkt (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); bei äußerer Teilung ist er (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). Der Mittelpunkt ist der Sonderfall m = n.

Spielt die Reihenfolge der Punkte für den Abstand eine Rolle?

Nein. Das Vertauschen der Punkte ändert das Vorzeichen jeder Differenz, und die Differenzen werden quadriert, also bleibt der Abstand gleich. Bei der Teilungsformel spielt die Reihenfolge dagegen eine Rolle, weil m : n von P₁ nach P₂ gemessen wird.

Warum bleibt der Abstand als Quadratwurzel stehen?

Eine Quadratwurzel wie √52 ist der exakte Abstand; ein Dezimalwert ist gerundet. Der Rechner vereinfacht die Wurzel (√52 = 2√13) und gibt zusätzlich den Dezimalwert an, sodass Sie in einem Beweis den exakten Wert und bei einer Messung den Dezimalwert verwenden können.

Abstands- und Mittelpunktrechner

Geben Sie zwei Punkte in der Ebene oder im Raum ein und erhalten Sie deren Abstand in vereinfachter Wurzelform (mit einem Dezimalwert daneben), ihren Mittelpunkt und den Punkt, der die Strecke in einem beliebigen Verhältnis m : n teilt. Wechseln Sie den Modus, um den anderen Endpunkt zu finden, wenn Sie einen Endpunkt und den Mittelpunkt kennen. Der Rechenweg wird ausgeschrieben, und in 2D wird die Strecke maßstabsgetreu gezeichnet. Kostenlos, ohne Anmeldung.

Was möchten Sie ermitteln?

Abstand, Mittelpunkt und TeilungspunktDer andere Endpunkt, ausgehend vom Mittelpunkt

Dimension

2D (x, y)3D (x, y, z)

Punkt P₁

P₁, x

P₁, y

Punkt P₂

P₂, x

P₂, y

Teilungsformel: Teilen Sie P₁P₂ im Verhältnis m : n

Teilung

Innen (ein Punkt auf der Strecke)Außen (ein Punkt auf der Geraden jenseits eines Endpunkts)

Ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche wie 3/4.

Ergebnisse

2√13 ≈ 7,211103

Abstand

(1, 1)

Mittelpunkt

Abstand zum Quadrat

Der Rechenweg

d = √(Summe der quadrierten Differenzen in x, y)

d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103

√52 = √(4 × 13) = 2√13

M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)

M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)

Teilungsformel

(0, 5/3)

Punkt, der P₁P₂ innen im Verhältnis 1 : 2 teilt

S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)

S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)

Diagramm

So verwenden Sie den Abstands- und Mittelpunktrechner

1. Wählen Sie 2D oder 3D und einen Modus. Der erste Modus misst den Abstand zwischen zwei Punkten; der zweite findet einen Endpunkt aus einem Punkt und dem Mittelpunkt.
2. Geben Sie die Koordinaten ein. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 1/2 bleiben exakt, sodass ein Abstand von √13 niemals zu 3,6055 wird.
3. Lesen Sie Abstand und Mittelpunkt ab. Der Abstand steht in vereinfachter Wurzelform mit einer Dezimalnäherung; der Mittelpunkt wird als Bruch oder als Dezimalzahl angezeigt.
4. Probieren Sie die Teilungsformel aus. Legen Sie m und n fest und wählen Sie innere oder äußere Teilung, um den Punkt zu finden, der die Strecke in diesem Verhältnis teilt. In 2D werden Strecke, Mittelpunkt und Teilungspunkt eingezeichnet.

Die Formeln

Größe	2D	3D
Abstand	d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)	d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
Mittelpunkt	((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)	((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2)
Punkt, der P₁P₂ innen im Verhältnis m : n teilt	(n·P₁ + m·P₂) / (m + n)	dasselbe, auf jede Koordinate angewendet
Punkt, der P₁P₂ außen im Verhältnis m : n teilt	(m·P₂ − n·P₁) / (m − n)	dasselbe, auf jede Koordinate angewendet
Anderer Endpunkt, gegeben P₁ und der Mittelpunkt M	P₂ = 2M − P₁	dasselbe, auf jede Koordinate angewendet

Die Abstandsformel ist der Satz des Pythagoras, angewendet auf die waagerechten und senkrechten Differenzen zwischen den Punkten: Sie sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse die Strecke ist. In 3D wird dieselbe Idee zweimal angewendet. Der Mittelpunkt ist einfach der Mittelwert jeder Koordinate, und er ist der Teilungspunkt für das Verhältnis 1 : 1.

Beispiele

Abstand und Mittelpunkt in 2D. Für P₁ = (−2, 3) und P₂ = (4, −1) sind die Differenzen 6 und −4, also d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. Der Mittelpunkt ist ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1).
Teilungsformel. Der Punkt, der dieselbe Strecke innen im Verhältnis 1 : 2 teilt, ist ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3). Er liegt ein Drittel des Weges von P₁ nach P₂.
Äußere Teilung. Für P₁ = (0, 0) und P₂ = (4, 0) ergibt die äußere Teilung im Verhältnis 3 : 1 den Punkt ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0), einen Punkt jenseits von P₂.
Abstand in 3D. Von (1, 2, 3) nach (4, −2, 15) sind die Differenzen 3, −4 und 12, also d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, und der Mittelpunkt ist (5/2, 0, 9).
Fehlender Endpunkt. Ist ein Endpunkt (1, 2) und der Mittelpunkt (5/2, 4), ist der andere Endpunkt (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6).

Innere und äußere Teilung

Wenn ein Punkt P₁P₂ im Verhältnis m : n teilt, heißt das, dass sich seine Abstände zu P₁ und P₂ wie m zu n verhalten. Bei einer inneren Teilung liegt der Punkt zwischen beiden, wobei m/(m + n) der Länge auf der Seite von P₁ liegt. Bei einer äußeren Teilung liegt er auf der Geraden, aber außerhalb der Strecke: jenseits von P₂, wenn m > n, und jenseits von P₁, wenn m < n. Für das Verhältnis 1 : 1 gibt es keinen äußeren Punkt, weil die Formel durch null teilen würde. Teilungspunkte dienen dazu, eine Strecke in gleiche Teile zu zerlegen, den Schwerpunkt eines Dreiecks zu finden und Koordinaten zwischen zwei bekannten Punkten zu interpolieren.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Abstandsformel?: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) in der Ebene, im Raum mit einem zusätzlichen Term (z₂ − z₁)². Sie beruht auf dem Satz des Pythagoras: Die waagerechte und die senkrechte Differenz sind die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, und der Abstand ist seine Hypotenuse.
Wie finden Sie den Mittelpunkt einer Strecke?: Bilden Sie den Mittelwert der Koordinaten: Addieren Sie die beiden x-Werte und halbieren Sie die Summe, ebenso die beiden y-Werte (und entsprechend z). Der Mittelpunkt von (−2, 3) und (4, −1) ist (1, 1).
Wie finden Sie einen Endpunkt, wenn Sie den anderen Endpunkt und den Mittelpunkt kennen?: Verdoppeln Sie den Mittelpunkt und subtrahieren Sie den bekannten Endpunkt, Koordinate für Koordinate: P₂ = 2M − P₁. Der Mittelpunkt liegt genau in der Mitte, daher ist der gesuchte Endpunkt ebenso weit jenseits von M, wie der bekannte Endpunkt davor liegt.
Was ist die Teilungsformel?: Sie liefert den Punkt, der eine Strecke in einem vorgegebenen Verhältnis teilt. Bei innerer Teilung im Verhältnis m : n ist der Punkt (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); bei äußerer Teilung ist er (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). Der Mittelpunkt ist der Sonderfall m = n.
Spielt die Reihenfolge der Punkte für den Abstand eine Rolle?: Nein. Das Vertauschen der Punkte ändert das Vorzeichen jeder Differenz, und die Differenzen werden quadriert, also bleibt der Abstand gleich. Bei der Teilungsformel spielt die Reihenfolge dagegen eine Rolle, weil m : n von P₁ nach P₂ gemessen wird.
Warum bleibt der Abstand als Quadratwurzel stehen?: Eine Quadratwurzel wie √52 ist der exakte Abstand; ein Dezimalwert ist gerundet. Der Rechner vereinfacht die Wurzel (√52 = 2√13) und gibt zusätzlich den Dezimalwert an, sodass Sie in einem Beweis den exakten Wert und bei einer Messung den Dezimalwert verwenden können.