Công Cụ Tính Khoảng Cách và Trung Điểm
Nhập hai điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian để nhận khoảng cách giữa chúng dưới dạng căn thức tối giản (kèm số thập phân), trung điểm của chúng, và điểm chia đoạn thẳng theo tỉ lệ m : n bất kỳ. Chuyển chế độ để tìm điểm mút còn lại khi bạn biết một điểm mút và trung điểm. Các bước tính được viết đầy đủ và, trong 2D, đoạn thẳng được vẽ đúng tỉ lệ. Miễn phí, không cần đăng ký.
Số nguyên, số thập phân hoặc phân số như 3/4.
Kết quả
2√13 ≈ 7,211103
Khoảng cách
(1, 1)
Trung điểm
52
Bình phương khoảng cách
Các bước tính
d = √(tổng bình phương các hiệu theo x, y)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
Công thức chia đoạn
(0, 5/3)
Điểm chia P₁P₂ trong theo tỉ lệ 1 : 2
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
Sơ đồ
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Khoảng Cách và Trung Điểm
- 1. Chọn 2D hoặc 3D và một chế độ. Chế độ thứ nhất đo khoảng cách giữa hai điểm; chế độ thứ hai tìm một điểm mút từ một điểm và trung điểm.
- 2. Nhập tọa độ. Số nguyên, số thập phân và phân số như 1/2 được giữ nguyên dạng chính xác, nên khoảng cách √13 không bao giờ bị đổi thành 3,6055.
- 3. Đọc khoảng cách và trung điểm. Khoảng cách được ghi dưới dạng căn thức tối giản kèm giá trị gần đúng dạng thập phân; trung điểm được hiển thị dưới dạng phân số hoặc số thập phân.
- 4. Thử công thức chia đoạn. Đặt m và n rồi chọn chia trong hoặc chia ngoài để tìm điểm chia đoạn thẳng theo tỉ lệ đó. Trong 2D, đoạn thẳng, trung điểm và điểm chia được vẽ trên đồ thị.
Các Công Thức
| Đại lượng | 2D | 3D |
|---|---|---|
| Khoảng cách | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Trung điểm | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| Điểm chia P₁P₂ trong theo tỉ lệ m : n | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | tương tự, áp dụng cho từng tọa độ |
| Điểm chia P₁P₂ ngoài theo tỉ lệ m : n | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | tương tự, áp dụng cho từng tọa độ |
| Điểm mút còn lại, khi biết P₁ và trung điểm M | P₂ = 2M − P₁ | tương tự, áp dụng cho từng tọa độ |
Công thức khoảng cách chính là định lý Pythagoras áp dụng cho các chênh lệch theo phương ngang và phương thẳng đứng giữa hai điểm: chúng là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền là đoạn thẳng. Trong không gian, ý tưởng này được áp dụng hai lần. Trung điểm đơn giản là trung bình cộng của từng tọa độ, và đó chính là điểm chia đoạn ứng với tỉ lệ 1 : 1.
Ví Dụ Minh Họa
- Khoảng cách và trung điểm trong 2D. Với P₁ = (−2, 3) và P₂ = (4, −1), các hiệu là 6 và −4, nên d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. Trung điểm là ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1).
- Công thức chia đoạn. Điểm chia cùng đoạn thẳng đó theo tỉ lệ 1 : 2 từ trong ra là ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3). Điểm này nằm cách P₁ một phần ba quãng đường đến P₂.
- Chia ngoài. Với P₁ = (0, 0) và P₂ = (4, 0), chia ngoài theo tỉ lệ 3 : 1 cho ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0), một điểm nằm ngoài P₂.
- Khoảng cách trong 3D. Từ (1, 2, 3) đến (4, −2, 15), các hiệu là 3, −4 và 12, nên d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, và trung điểm là (5/2, 0, 9).
- Điểm mút còn thiếu. Nếu một điểm mút là (1, 2) và trung điểm là (5/2, 4), thì điểm mút còn lại là (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6).
Chia Trong và Chia Ngoài
Nói rằng một điểm chia P₁P₂ theo tỉ lệ m : n nghĩa là khoảng cách của nó đến P₁ và P₂ tỉ lệ với m và n. Với phép chia trong, điểm nằm giữa hai đầu, với m/(m + n) độ dài tính từ phía P₁. Với phép chia ngoài, điểm nằm trên đường thẳng nhưng ở ngoài đoạn thẳng: nằm sau P₂ khi m > n, nằm sau P₁ khi m < n. Tỉ lệ 1 : 1 không có điểm chia ngoài, vì công thức sẽ chia cho 0. Điểm chia đoạn được dùng để chia một đoạn thẳng thành các phần bằng nhau, để tìm trọng tâm, và để nội suy tọa độ giữa hai điểm đã biết.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Công thức khoảng cách là gì?
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) trong mặt phẳng, và có thêm số hạng (z₂ − z₁)² trong không gian. Công thức này xuất phát từ định lý Pythagoras: các chênh lệch theo phương ngang và phương thẳng đứng là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, và khoảng cách là cạnh huyền.
- Làm sao tìm trung điểm của một đoạn thẳng?
- Lấy trung bình cộng các tọa độ: cộng hai giá trị x rồi chia đôi, cộng hai giá trị y rồi chia đôi (tương tự với z). Trung điểm của (−2, 3) và (4, −1) là (1, 1).
- Làm sao tìm một điểm mút khi biết điểm mút kia và trung điểm?
- Nhân đôi trung điểm rồi trừ đi điểm đã biết, theo từng tọa độ: P₂ = 2M − P₁. Trung điểm nằm đúng giữa, nên điểm mút chưa biết cách M một khoảng bằng khoảng cách từ điểm đã biết đến M.
- Công thức chia đoạn là gì?
- Đó là công thức cho điểm chia một đoạn thẳng theo một tỉ lệ cho trước. Với phép chia trong theo tỉ lệ m : n, điểm là (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); với phép chia ngoài, điểm là (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). Trung điểm là trường hợp đặc biệt khi m = n.
- Thứ tự hai điểm có ảnh hưởng đến khoảng cách không?
- Không. Đổi chỗ hai điểm sẽ đổi dấu của mọi hiệu, nhưng các hiệu được bình phương nên khoảng cách không đổi. Thứ tự thì quan trọng với công thức chia đoạn, vì tỉ lệ m : n được đo từ P₁ đến P₂.
- Vì sao khoảng cách được giữ dưới dạng căn bậc hai?
- Căn bậc hai như √52 là khoảng cách chính xác; số thập phân là giá trị đã làm tròn. Công cụ rút gọn căn (√52 = 2√13) và đồng thời đưa ra số thập phân, để bạn dùng giá trị chính xác trong chứng minh và số thập phân trong phép đo.